Форум РадиоКот

Есть куча всяких книжек по методике расчёта трансформатора с кучей формул и так далее. Однако я как-то совсем не встречал объяснения откуда эти формулы берутся. Вот, например, самая важная формула для радиолюбителя, который имеет готовый набор Ш-пластин и корпус для обмотки, а именно формула для числа витков на вольт:

n = 50 см²/В / S

где S — площадь поперечного сечения набора трансформаторных пластин (то бишь произведение среднего лепестка Ш-пластины на толщину набора).

Откуда эти волшебные 50 см²/В берутся?

В универе в курсе общей физики изучаются вопросы магнитостатики и электродинамики, поэтому я понимаю, что это число берётся из того соображения, что железо трансформатора не должно входить в насыщение. В противном случае трансформатору грозят неконтролируемо растущие токи и выгорание обмоток в следствие перегрева. Однако, от общих соображений до конкретных формул путь не близкий.

Вот мои попытки вывести эту формулу. Рассмотрим простую модель с только одной первичной обмоткой:



Здесь:
I — ток обмотки
N — число витков обмотки
p — средний периметр магнитопровода
S — площадь сечения магнитопровода
d — ширина эффективного магнитного зазора
B — магнитная индукция в магнитопроводе и в зазоре
H — магнитное поле в магнитопроводе
H' — магнитное поле в зазоре
Так же на картинке не указана величина μ — магнитная проницаемость магнитопровода

Эффективный зазор отражает неидеальность сборки трансформатора: неплотное прилегание Ш- и I-пластин друг к другу в следствие грязи, остатков лака и прочего, а так же наличие вмятин на прилегающих торцах пластин, которые неизбежно появляются при сборке-разборке пакета пластин для перемотки трансформатора.

Эти величины связаны такими формулами:



В первой строчке — материальные уравнения для магнитопровода и зазора, а так же граничное условие. Во второй — циркуляция магнитного поля. В третьей — связь энергии магнитного поля с электрическими величинами (индуктивность L, ток I) и с объёмными величинами (размеры, плотности w и w' магнитной энергии в магнитопроводе и зазоре). Ну и в четвёртой строчке — выражения для плотностей энергии магнитного поля. Решая эти уравнения получаем две формулы:



Видно, что величина индуктивности обмотки в значительной степени определяется размерами зазора в силу большой магнитной проницаемости железа. Если периметр p порядка 200 мм, а проницаемость μ порядка 2000, то величина p/μ будет порядка 0,1 мм, что сравнимо с возможной величиной d эффективного зазора. Это особенно актуально для малогабаритных трансформаторов с малым периметром p. Но на конечную формулу это, как ни странно, ни капельки не влияет. И вот почему.

Связь между напряжением на обмотке и током в ней выражается дифференциальной формулой:

U = L dI/dt

Если I = Iaмп sin(ω t), то для напряжения получается выражение:

U = L ω Iaмп cos(ω t)

Здесь ω = 2π f — круговая частота, а f — обычная частота в герцах. Получается для амплитуд напряжения и тока:

Uамп = L ω Iaмп

Так же надо учесть, что амплитуда синусоидального напряжения в корень из двух раз больше действующего напряжения:

Uамп = Uдейств √2

Объединяя все эти формулы, получаем следующее:



Если пересчитать волшебное число 50 см²/В в индукцию насыщения для частоты 50 Гц, то получится кругленькие 0,9 Тл. Не слишком ли это большой запас? Порывшись в интернетах, можно обнаружить, что индукция насыщения большинства электротехнических сталей попадает в диапазон 1,8...2,0 Тс. Кроме того, в недавно разобранном мной трансформаторе на один вольт приходится 11,4 витков. Учитывая, что размеры сердечника 22 мм на 14 мм, получается, что разработчики этого трансформатора в качестве волшебного коэффициента взяли величину 35 см²/В. Это, конечно, уже ближе, но до 25 см²/В, которые получаются по моей формуле для 1,8 Тл и 50 Гц не дотягивает целых 40%.

Собственно мой вопрос в том, является ли это таким запасом прочности, или же я чего-то не учёл в вышеприведённых расчётах?

Первое, что бросилось в глаза:

B@R5uk писал(а): Рассмотрим простую модель с только одной первичной обмоткой

Связь между напряжением на обмотке и током в ней выражается дифференциальной формулой:

U = L dI/dt

У трансформатора есть вторая обмотка, она внесёт поправку в эту формулу.

Вышеприведённый расчёт выполнен для холостого хода, разумеется. HochReiter, вы хотите сказать, что магнитное поле в трансформаторе под нагрузкой будет больше, а не меньше, чем на холостом ходу?

страно или вы не те книжки читаете ил....
вобщем в курсе электрических машин все формулы расчеты вывеены в наше время любой студнт делал курсовую по ЭМ по расчету или транса или мотора или генератора..

[uquote="B@R5uk",url="/forum/viewtopic.php?p=3517248#p3517248"]HochReiter, вы хотите сказать, что магнитное поле в трансформаторе под нагрузкой будет больше, а не меньше, чем на холостом ходу?[/uquote] Нет, я хотел сказать, что в формуле надо заменить L1 на L12 Виноват, погорячился, не успел подумать.

[uquote="B@R5uk",url="/forum/viewtopic.php?p=3517168#p3517168"]Откуда эти волшебные 50 см²/В берутся?
... я как-то совсем не встречал объяснения откуда эти формулы берутся[/uquote]А вот когда я 50 лет назад делал трансформатор описанный в книжке "Электрические и паровые двигатели", то там этот коэфиициент был 60 см²/В
Железо там вырезалось из консервных банок и уже там для школьников объяснялось, что если у кого есть трансформаторное железо, например Э320, то коэффициент в этой эмпирической формуле можно взять 50.

Спойлер

Эмпирическая формула — формула, определенная из опытных (эмпирических) данных.

А когда учился в школе, то я по эмпирической формуле всемирного тяготения

Что увидел в учебнике по физике, пытался разгадать тайну гравитации.
Вы примерно тоже этим же занялись.

Этот коэффициент (из разной литературы времён СССР) бывал разным, мне попадались его значения от 40 до 60. Значение, как я тогда отметил, зависело от назначения трансформатора: скажем, для магнитофонов оно больше, дабы получался меньший заход в насыщение.

musor, а не могли бы вы по-подробнее на счёт книг? Год, автор, название. Было б здорово сразу ссылку на сундук, но и без неё я тоже смогу поискать.

Добавлено after 7 minutes 21 second:
[uquote="mickbell",url="/forum/viewtopic.php?p=3517352#p3517352"]Значение, как я тогда отметил, зависело от назначения трансформатора: скажем, для магнитофонов оно больше, дабы получался меньший заход в насыщение.[/uquote]Так вот меня и интересует: что, как и почему. Я, однако, начинаю подозревать, что коэффициент скорее должен зависеть (как верно заметил HochReiter) от типа нагрузки: активная нагрузка типа нитей накаливания ламп — это одно, в то время, как выпрямительный блок питания для усилителя мощности — это совсем другое. Во втором случае ток во вторичке представляет собой короткие пики значительной амплитуды, что, возможно, потребует увеличить коэффициент по сравнению с простой активной нагрузкой. Ни первый, ни второй случай я ещё не считал, поэтому не уверен на все 100. В то же время, меня весьма интересует что будет происходить с токами и полями, если трансформатор таки будет слегка заходить в насыщение. Здесь я даже не знаю, какие формулы/модели/приближения применять.

Ну почему для магнитофонов коэффициент должен быть больше, чем, скажем, для питания какой-нибудь лампочки, и что будет, если его уменьшить - это объяснимо. Во-первых, при заходе в глубокое насыщение появляются импульсы тока первичной обмотки. Во-вторых, имеет место "выпячивание" магнитного поля из сердечника из-за падения его магнитной проницаемости в насыщении. То и другое неблагоприятно сказывается на уровне фона, хватаемого ГВ и УВ магнитофона. Что тут можно считать формулами, я не очень представляю себе.

B@R5uk писал(а):Я, однако, начинаю подозревать, что коэффициент скорее должен зависеть (как верно заметил HochReiter) от типа нагрузки:

В радиолюбительской формуле коэффициент мощности никак не учитывается. В статье "Расчёт сетевого трансформатора сетевого источника питания" из "Радио" 2004 NN4,5 приводится формула без вывода: E=4.44*f*B*S*k*10^-4, где k - коэффициент заполнения, примерно равен единице. Совпадает с Вашим результатом. Я тоже пришёл к тем же цифрам:
E=dФ/dt = 2*Pi*Bm*cos(2*Pi*f*t)*S

В той же статье из "Радио": "Рекомендуемые значения магнитной индукции приведены в табл.4. Откуда взяты данные табл.4 и почему они зависят от габаритной мощности трансформатора и толщины ленты, я не в курсе, но там меньше 1.8-2.0 Тл - 1.0-1б6 Тл. Если учесть древность радиолюбительской формулы и PF выпрямителя с ёмкостью на выходе, то 50 - разумный коэффициент.

Единственный способ избавиться от чужих эмпирических коэффициентов и "рекомендуемых значений индукции", это способ пробной обмотки, т.е. получение собственного значения индукции, исходя из собственных требований к трансформатору - минимальный шум или максимальная мощность или другое (причём всё это применительно к сердечнику, который в руках).
Сейчас буду перематывать кольцо, там 4,5 вит/Вольт, молчит как рыба, на вертушку наводок не было.

B@R5uk писал(а):поэтому я понимаю, что это число берётся из того соображения, что железо трансформатора не должно входить в насыщение. В противном случае трансформатору грозят неконтролируемо растущие токи и выгорание обмоток в следствие перегрева.

Доводить сердечник до полного насыщения, просто энергетически невыгодно, растут затраты на перемагничивание без эффекта усиления.
Никаких некотролируемых токов нет, просто увеличьте сопротивление вторички и токов не будет.

А зачем вам зазор "d" в магнитопроводе? (Последняя картинка Transformer.gif)

12943 писал(а):Единственный способ избавиться от чужих эмпирических коэффициентов и "рекомендуемых значений индукции", это способ пробной обмотки

Это не только к трансформаторам относится. По любым деталям данные приводятся усреднённые. Если не брать их из даташитов, а замерять, можно получить результаты гораздо более

[uquote="Eltex",url="/forum/viewtopic.php?p=3517658#p3517658"]Никаких некотролируемых токов нет, просто увеличьте сопротивление вторички и токов не будет.[/uquote]Да хоть и вообще никакой вторички... При заходе в насыщение форма первичного тока перестаёт быть синусоидальной, на ней появляются пики, и они тем больше, чем глубже заход в насыщение. В идеале - мощные помехи вокруг пересыщенного сердечника и контура первичного тока.

[uquote="mickbell",url="/forum/viewtopic.php?p=3517673#p3517673"][uquote="Eltex",url="/forum/viewtopic.php?p=3517658#p3517658"]Никаких некотролируемых токов нет, просто увеличьте сопротивление вторички и токов не будет.[/uquote]Да хоть и вообще никакой вторички... При заходе в насыщение форма первичного тока перестаёт быть синусоидальной, на ней появляются пики, и они тем больше, чем глубже заход в насыщение. В идеале - мощные помехи вокруг пересыщенного сердечника и контура первичного тока.[/uquote]

Это уже зависит от частоты тока в первичке и размеров сердечника, и т.н. магнитомягкости, чем ниже частота и меньше размер сердечника и выше магнитомягкость, тем меньше описанные вами эффекты.

При этом опять же трудно представить откуда возьмутся токи для выгорания (уже первички? и без вторички).

[uquote="Eltex",url="/forum/viewtopic.php?p=3517676#p3517676"]Это уже зависит от частоты тока в первичке и размеров сердечника, и т.н. магнитомягкости, чем ниже частота и меньше размер сердечника и выше магнитомягкость, тем меньше описанные вами эффекты.[/uquote]
Вот это просто чушь.

Ток через единственную обмотку течёт. Его величина=U/6,28*f*L, f - частота, L - индуктивность. Чем меньше индуктивность, тем больше ток.
Когда это станет понятным, можно идти дальше.

12943,

Чушь получается, когда вы не поняли о чём сообщение и пишите реактивный закон Ома.
Это был ответ на сообщение viewtopic.php?p=3517673 на появление т.н. пиков, когда сердечник не успевает перемагничиваться.

А то, что ток снижается от роста реактивного сопротивления, вы америку не открыли.

[uquote="B@R5uk",url="/forum/viewtopic.php?p=3517168#p3517168"]Есть куча всяких книжек по методике расчёта трансформатора с кучей формул и так далее. Однако я как-то совсем не встречал объяснения откуда эти формулы берутся. Вот, например, самая важная формула для радиолюбителя, который имеет готовый набор Ш-пластин и корпус для обмотки, а именно формула для числа витков на вольт: n = 50 см²/В / S[/uquote]

Чтобы докопаться "до истины" нужно поднять старые источники 1939 - 1947 года. Таких авторов, как Гинкин, Войшвилло, Цыкин. Самая ранняя формула была 40 - 80 / S. Чем лучше сталь (чем тоньше листы), тем меньше берётся число. Для того чтобы определить качество стали, оказавшейся у вас в руках, нужен опыт. Для современного ленточного магнитопровода можно брать 30. У Г.Г.Гинкина написано, что произведение числа витков на сечение сердечника, NS, есть величина постоянная. Приводится много графиков. Стр.772.

[uquote="Eltex",url="/forum/viewtopic.php?p=3518027#p3518027"]12943,

Чушь получается, когда вы не поняли о чём сообщение и пишите реактивный закон Ома.
Это был ответ на сообщение viewtopic.php?p=3517673 на появление т.н. пиков, когда сердечник не успевает перемагничиваться.

А то, что ток снижается от роста реактивного сопротивления, вы америку не открыли.[/uquote]
"Реактивный закон Ома" - щас на стенке напишу, пока не забыл.
Пики вовсе не так называемые, а глазами наблюдаемые.
+ очередная чушь "сердечник не успевает перемагничиваться".

На самом деле пики появляются, когда сердечник намагничивается до насыщения,
а перемагничиваться он будет гораздо позже, когда одна палочка и девять дырочек истребят целое войско, нет не то,
когда индукция снизится до нуля, когда первичная обмотка уже забудет, что в ней были т.н. пики тока, тогда и начнётся "перемагничивание".

Реактивный, мнимый, комплексный, всё одно.
Обязательно запишите? чтобы не забывать. ))

И потрудитесь разъяснить...
С какого перепоя при насыщении сердечника возникнут пики тока в первичке и без вторички?