Форум РадиоКот

Не получается школьная задачка. Два тела начинают движение по окружности из одной точки в одном направлении. Период обращения первого тела Т1=1,0с, второго – Т2=3,0с. Первое тело догонит второе через время Δt, равное. Помогите

Сформулируй вопрос задачи, сначала.

Через какой промежуток времени первое тело догонит второе?
т.к. перио 2-го меньше периода 1-го в 3 раза, то согласно соотношению w=2*pi*R/T, скорость 2-го в 3 раз меньше скорости 1-го.Либо я иду не по тому пути?[/i]

механика давно была.
Вот, порылся в мозгу. Попробуй так.
w=2*pi/T

a(t)=a0+w*t+E*t^2/2 уравнение вращ. движ.
попробуй через него..

Вникай:
T1=1c T1=2pi*R/V1 V1=2pi*R/T1
T2=3c T2=2pi*R/V2 V2=2pi*R/T2

S1-S2=2pi*R (здесь советую всё нарисовать и помоделировать в мозгу)
V1*t-V2*t=2pi*R
t/T1-t/T2=1
t=T1*T2/(T2-T1)=3/2

Вот, даже черновик тебе

Спасибо. А то я решал аналитически. 1-е тело проход длину окружности l за 1с, а второе за 3с проходит l/3/ Следовательно 1-е тело встретится со вторым через 1,5c. Доказать формулами не получалось.

несколько способов решения - всегда "+"!

Линейную скорость можно было не приплетать. Просто нужно найти такое время t, при котором угол между телами будет равен целому числу оборотов. То есть ω1t-ω2t=2пn, где n — целое число (п=число пи). ω=2п/T, следовательно, ω1=2п рад/с, ω2=2п/3, 2пt-2пt/3=2пn. Далее, решаем уравнение и получаем, что t=1,5n (секунд), где n — целое число. То есть, каждые 1,5 секунды первое тело будет догонять второе.

Тригонометрический способ. Ы-ы... Надеюсь, нигде не ошибся.
На координатной плоскости координаты тел 1, 2 будут равны:
1X = COS(t * 2*pi/T1) = COS(t * 2*pi)
1Y = SIN(t * 2*pi/T1) = SIN(t * 2*pi)

2X = COS(t * 2*pi/T2) = COS(t * 2*pi/3)
2Y = SIN(t * 2*pi/T2) = SIN(t * 2*pi/3)

Если одно тело догонит другое, значит их координаты будут равны:
COS(t * 2*pi) = COS(t * 2*pi/3)
SIN(t * 2*pi) = SIN(t * 2*pi/3)
Решим уравнения:
COS(t * 2*pi) + SIN(t * 2*pi) = COS(t * 2*pi/3) + SIN(t * 2*pi/3)
Пусть x = t * 2*pi/3, тогда:
COS(3*x) + SIN(3*x) = COS(x) + SIN(x)
COS(2*x + x) + SIN(2*x + x) = COS(x) + SIN(x)
cos(2*x)*cos(x) - sin(2*x)*sin(x) + sin(2*x)*cos(x) + sin(x)*cos(2*x) = cos(x) + sin(x)
cos(2*x)*cos(x) + sin(2*x)*cos(x) - cos(x) + sin(x)*cos(2*x) - sin(x) - sin(2*x)*sin(x) = 0
cos(x)*(cos(2*x) + sin(2*x) - 1) + sin(x)*(cos(2*x) - sin(2*x) - 1) = 0
cos(x)*(cos^2(x) - sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x) - 1) + sin(x)*(cos^2(x) - sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x) - 1) = 0
cos(x)*(1-cos^2(x) + sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x)) + sin(x)*(1-cos^2(x) + sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x)) = 0
cos(x)*(sin^2(x) + sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x)) + sin(x)*(sin^2(x) + sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x)) = 0
cos(x)*(2sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x)) + sin(x)*(2sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x)) = 0
2*sin(x)*cos(x)*(sin(x) - cos(x)) + 2*sin^2(x)*(sin(x) + cos(x)) = 0
sin(x)*(cos(x)*(sin(x) - cos(x)) + sin(x)*(sin(x) + cos(x))) = 0
I Решение sin(x)=0
x=arcsin(0)+2*pi*n=2*pi*n
x=pi-arcsin(0)+2*pi*n=pi - 2*pi*n
cos(x)*(sin(x) - cos(x)) + sin(x)*(sin(x) + cos(x)) = 0
cos(x)*sin(x) - cos^2(x) + sin^2(x) + cos(x)*sin(x) = 0
2*cos(x)*sin(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 0
sin(2x) - (1 + cos(2x))/2 + (1-cos(2x))/2 = 0
sin(2x) - (1 + cos(2x) +1-cos(2x))/2 = 0
sin(2x) - 1 = 0
sin(2x) = 1
II решение:
2x = arcsin(1) + 2*pi*n = pi/2 + 2*pi*n
x = pi/4 + pi*n
2x = pi - arcsin(1) + 2*pi*n = pi - pi/2 + 2*pi*n = pi/2 + 2*pi*n - то же. Не берём.

Итак. У нас получились следующие корни:
x=2*pi*n
x=pi - 2*pi*n
x = pi/4 + pi*n
Вернём подстановку:
t * 2*pi/3=2*pi*n
t * 2*pi/3=pi - 2*pi*n
t * 2*pi/3 = pi/4 + pi*n
Упростим:
t =3*n
t =3/2 - 3*n = 3*(1/2 - n) = 3*(0.5 - n)
t = 3/8 + 3*n/2 = 3/2 * (1/4 + n) = 1.5 * (0.25 + n)
Получили уравнения времён, при которых два объекта будут на отной точке. n - целое число. Подставим, n = 0.
t = 0 с
t = 3*(0.5) = 1.5 с
t = 1.5 * (0.25) = 0.375 с
Подставим, n = 1.
t =3
t =3*(0.5 - 1) = −1,5
t = 1.5 * (0.25 + 1) = 1,875
Подставим, n = -1.
t =-3
t =3*(0.5 + 1) = 4,5
t = 1.5 * (0.25 - 1) = −1,125

Берём минимальное время их встречи большее 0 (т.к. 0 с это старт), т.е. 0.375 с.
Ответ: Один объект догонит другой через 0.375 секунды.

Но, видимо у меня где-то ошибка.
А потому, что проверку корней не сделал.
Проверка:
COS(t * 2*pi) + SIN(t * 2*pi) = COS(t * 2*pi/3) + SIN(t * 2*pi/3)
Возмём уравнение t =3*n
При чётной n=0 t=0
COS(0) + SIN(0) = COS(0) + SIN(0) -верно
При нечётной n=1 t=3
COS(6*pi) + SIN(6*pi) = COS(2*pi) + SIN(2*pi)
COS(2*pi) + SIN(2*pi) = COS(2*pi) + SIN(2*pi) -верно
Первое уравнение верно.

Возмём уравнение t = 3*(0.5 - n)
При чётной n=0 t=1.5
COS(3*pi) + SIN(3*pi) = COS(pi) + SIN(pi)
COS(pi) + SIN(pi) = COS(pi) + SIN(pi) -верно
При нечётной n=1 t=-1.5
COS(-3*pi) + SIN(-3*pi) = COS(-pi) + SIN(-pi)
COS(pi) - SIN(pi) = COS(pi) - SIN(pi) - верно
Второе уравнение верно.

Возмём уравнение t = 1.5 * (0.25 + n)
При чётной n=0 t=0.375
COS(0.75*pi) + SIN(0.75*pi) = COS(0.25*pi) + SIN(0.25*pi)
COS(3*pi/4) + SIN(3*pi/4) = COS(pi/4) + SIN(pi/4)
1,040266316 = 1,013613405 - не верно!
При нечётной n=1 t=1,875
COS(3,75*pi) + SIN(3,75*pi) = COS(1,25*pi) + SIN(1,25*pi)
1,183106212 = 1,066136093 - не верно!
Третье уравнение не является корнем уравнения.

Итак, остаётся только
t =3*n
t = 3*(0.5 - n)

Подставим, n = 0.
t = 0 с
t = 3*(0.5) = 1.5 с
Подставим, n = 1.
t =3
t =3*(0.5 - 1) = −1,5
Подставим, n = -1.
t =-3
t =3*(0.5 + 1) = 4,5

Берём минимальное время их встречи большее 0 (т.к. 0 с это старт), т.е. 1.5 с.
Ответ: Один объект догонит другой через 1.5 секунды.

Вывод: не забываем делать проверку.

Aden писал(а):Не получается школьная задачка. Два тела начинают движение по окружности из одной точки в одном направлении. Период обращения первого тела Т1=1,0с, второго – Т2=3,0с. Первое тело догонит второе через время Δt, равное. Помогите

скорость 1 равна 1 об сек
скорость 2 - 1/3

получаем уравнение
1*t - 1 = ( 1/3 )*t

Отсюда t = 1.5 сек