Здравствуйте.
Подскажите что проверить на плате. В электронике понимаю на уровне "диод пускает ток тольков одну сторону, а резистор в любую, но неохотно". Из инструментов есть мультиметр.

С блока питания (красный и чёрный провода справа внизу) приходит 5.16В.
На коннектор батареи приходит 4.68В. При втыкании батареи заряжает её, но индикация заряда не идёт (светодиод на чёрноми синем проводе справа внизу).
Разъём S-/Sw - выключатель. При любом его положении на мотор напряжение не приходит.
Диод D3 сильно греется. Не знаю, нормально ли это.

Напрямую, если запитать от ЛБП, мотор работает?

Не знаю, что такое ЛБП, но мотор рабочий, проверено.
Аккумулятор тоже рабочий.

Транзистор под названием М1.

Подскажите неграмотному, как я могу его проверить?

Если при попытке работы ощутимо греется, то под замену. Электрически в схеме получится, если есть осциллограф. Без него лучше таки выпаять для проверки.