Соединение конденсаторов

Gudd-Head

Стоило отойти — нафлудили уже 5 страниц.
Не-не-не. Только я, значит, придумал элегантное описание этой школьной задачки

Slabovik писал(а):Вообще-то это школьная задачка:
Имеется два одинаковых идеальных конденсатора емкостью C. Один конденсатор заряжен до напряжения U, второй разряжен (напряжение 0). Конденсаторы соединяют параллельно двумя медными проволочками длиной L диаметром d. Вычислить, на сколько нагреются проволочки...

как тема уже закрыта? Нееет

Я тоже хочу пофлудить. Итак,
Дано: два конденсатора ёмкостью С1 и С2, заряженные до U1 и U2 соответственно, и резистор R.
Найти: количество тепла, выделившееся на резисторе при соединении конденсаторов через него, взять предел при R —> 0.

Количество тепла по закону Джоуля — Ленца есть интеграл по времени (в нашем случае от нуля до бесконечности) выделяющейся на резисторе мощности:

,
где закон изменения тока:

Подставляем в интеграл и вычисляем:

Спойлер

Таким образом, выделенное на резисторе количество тепла не зависит от номинала!!! Это физика. Положив U1 = U, U2 = 0 и C1 = C2 = C, получим искомое С·U²/4. Как видите, оно будет всегда. Но! Если положить R = 0, то в интеграле будет сингулярность. Это математика. Так что говорить о том, куда делась энергия в данной системе без потерь, не имеет физического смысла. Это не идеализация, это грубое нарушение алгебры (деление на ноль).
Точно также если замыкать не через резистор, а через идеальную индуктивность L чтобы ограничить бросок тока — будут гармонические незатухающие колебания. И в тот момент, когда на каждом конденсаторе будет по U/2, "недостающая" энергия будет запасена в магнитном поле катушки L·I²/2.

Кстати, и про демонический DC-DC преобразователь я тоже подумал, откуда он сделает на двух конденсаторах заряд по 0,707 от первоначального. Эквивалентная схема преобразователя — источник тока, он-то и даст дополнительный заряд 0,41 от первоначального.

Реклама

Slabovik

Браво! Добавить нечего. Я же с самого начала чувствовал подвох в ваших вопросах. А всем остальным хочу обратить внимание - время бесконечность. Т.е. данный процесс перезаряда вообще никогда не заканчивается ни при каких условиях (кроме искуcственно введённых демонов от Gudd-Head, бесконечно близко и бесконечно долго приближаясь к предельным (вычисленным по формуле) значениям...

Реклама

rl55

Кто-то убеждал, что задачка простая, на сообразительнось, а тут до сингулярности дошли.

Давайте вспомним, что хотел узнать ТС в задаче - энергию системы в конце процесса.
Т.е., предполагалось стационарное ее состояние.
Бесконечный колебательный процесс не позволяет это сделать.
И только процесс с излучением энергии приводит к выводу, вычисленному ТС.
Правда и здесь есть загвоздка - процесс затухания теоретически будет длиться бесконечно долго.
Но так же теоретически бесконечно долго будет происходить процесс и при соединении через сопротивление.
Поэтому я и видел, что смысл у задачи появится только, если наряду с колебательным процессом будет идти процесс излучения. Тогда мы и приходим к результату ТС.
Вот такая "сообразительность" была у меня.
И я не считаю, что мой вариант такой уж некорректный. Я опирался на то, что идеальный проводник имеет индуктивность. И это никто не отрицал.
Попутно, именно индуктивность реально и ограничивает тот бесконечно большой ток, на который указывал Gudd-Head.
Да и, вообще, любой проводник обладает свойством излучать электромагнитные волны при определенных условиях (правда, Slabovik утверждал, что малая рамка в идеальном виде излучать не может, правда после проведения небольшого ликбеза изменил свою точку зрения) http://radiokot.ru/forum/viewtopic.php? ... 0#p1819440
А для этого, выражение в условии "Потерями в проводниках пренебрегаем" следует тогда понимать, как отсутствие омических потерь (я, кстати, только так и понял с самого начала и думаю, что это вполне логично).
А почему бы и нет, если "задача на сообразительность" и это приводит к объяснению вычисленного результата.
Т.е., я показал, когда такой результат возможен.
Принять, что излучения нет, я думаю, можно только формально. И Slabovik для этого случая первым дал правильный ответ, однако он не приводит к нужному смыслу решения задачи в понимании ТС.

Теперь по поводу преобразователя (т.е. 0,707 U).
Вот схема:

Все детали идеальные. Опять же, условно принимаем, что излучения и других потерь энергии нет.
Так вот, замыкая на определенное время ключ и размыкая его, мы можем получить не только равные напряжения по 0,707 U, но и полностью перекачать энергию из первого конденсатора во второй.
Имеется ввиду один такт работы устройства - включение ключа на нужное время и выключение.
Но это просто иллюстрация, как этого достичь и к нашей задаче отношения не имеет.

Gudd-Head

Slabovik писал(а):Браво!

Подумал, что-то давно я с интегралами не игрался

И даже не поленился набить соотв. формулы в Ворде (штатная вордовская штука для этого — кака. Рекомендую поставить плагин? Math Type).

rl55 писал(а):полностью перекачать энергию из первого конденсатора во второй.

Полностью не получится, это всё-таки понижающий преобразователь — при равенстве напряжений на кондёрах ток через дроссель не потечёт

Реклама

rl55

Gudd-Head писал(а):Полностью не получится, это всё-таки понижающий преобразователь — при равенстве напряжений на кондёрах ток через дроссель не потечёт

У меня преобразователь не в классическом смысле:

rl55 писал(а):Имеется ввиду один такт работы устройства - включение ключа на нужное время и выключение.

Замыкаем ключ, начинается перезарядка конденсаторов.
При равенстве напряжений на конденсаторах (0,5 U) ток в индуктивности максимальный, максимальна запасенная энергия.
Ток не прекращается, продолжается разрядка первого конденсатора и зарядка второго.
В момент, когда первый разрядится полностью, а второй зарядится до +U, отключаем ключ.
Вот и все.

Могу попутно объяснить, как получается 0,707 U.
В момент, когда первый конденсатор разрядился до 0,707 U, выключаем ключ.
Второй конденсатор дозарядится до 0,707 U за счет накопленной энергии магнитного поля в индуктивности (через диод).
Энергия распределится поровну (именно по 0,707 U по напряжению на каждом конденсаторе), чего так усиленно хотел vem566, только не знал, как это сделать, кроме как математически.
И я уже писал, что в предлагаемой задаче это сделать невозможно.

Реклама

Звездочёт

поделить энергию поровну не обещаю, а вот сохранить можно так

И не надо ловить момент отключения рубильника.

Реклама

rl55

Да, энергия сохранится и полностью перейдет во второй конденсатор. Но не поделится.

Видите, какой у нас форум умный...

А по поводу "ловить момент отключения рубильника" - так это же абстрактная модель, кто его реально ловить будет...

O_l_e_g

Slabovik
Ошибка при вычислении интеграла. Посмотрите под интегралом ток в квадрате и когда выносим за интеграл то не только U в квадрате но и разделить надо на R в квадрате. Так что энергия на тепло будет зависеть от сопротивления потерь. Более того объяснять данный эффект потерями просто смешно. Возьмите теперь эти 2 заряженных конденсатора и соедините последовательно и посчитайте по формуле {q=CU и E=(C*U^2)/2} вы еще больше удивитесь. А вообще школьный курс физики непротиворечив. А это значит все явления можно объяснить без учета потерь. Мы же изучаем работу маятника, но разве кто нибудь учитывает сопротивление воздуха. Потери начинают использовать в школьной физике когда надо объяснить причину затухания колебаний или когда приходиться делить на ноль. На ноль делить нельзя -- значит чего то не учли ... еще в задачах на тепло Более того выделяющееся тепло не может не зависеть от сопротивления проводника. А поскольку здесь идет "строгая половина потери энергии" то она никак не может быть связана с тепловыми потерями, в том числе и с другими потерями. В самом деле если мы соединим те же конденсаторы нихромовой провлкой от утюга или провод будет несколько километров, неужели и в этом случае потери составят половину. Или половину -- это только для идеального случая когда в задаче говориться что потерь нет ну и плюс еще там на нихром на 5 км провода это еще потери. Ясно что энергия заряженного конденсатора уменьшилась. Вот только куда она делась не надо объяснять потерями на тепло получите противоречие что потери не зависят от сопротивления и длинны соединительных проводников.

КРАМ

O_l_e_g писал(а):Так что энергия на тепло будет зависеть от сопротивления потерь. Более того объяснять данный эффект потерями просто смешно.....
....поскольку здесь идет "строгая половина потери энергии" то она никак не может быть связана с тепловыми потерями, в том числе и с другими потерями.

а)Берем идеальный конденсатор заряженный до U и закорачиваем его идеальным проводником.
б)Берем другой идеальный конденсатор заряженный до U и закорачиваем его идеальным источником ЭДС с напряжением U/2, соблюдая полярность источника и конденсатора идентичной.
Энергия в обоих случаях будет конечной и определенной.Независимой от сопротивления, которое равно нулю.
Мощность, правда, будет бесконечной.... Ведь постоянная времени такой цепи будет равна нулю...
Как у дельта-функции. Площадь единичная, а мощность бесконечная...
Может это она?

ЗЫ. Позор. Мне, двоечнику Перестукину... Так облажаться в элементарной задаче...

Главное сразу построить модель...

rl55

O_l_e_g, вычислял не Slabovik, а Gudd-Head.
Я, хотя и лет 40 уже не видел интегралов, вроде бы не вижу ошибки.
Если учесть все R - перед знаком интеграла, R^2, как вы уже сказали и R в показателе степени e, то все R сократятся.
Проверьте, может я ошибаюсь. Когда-то легко справлялся с интегралами, но без практики многое забыл.

При соединении через сопротивление по закону сохранения заряда заряд разделится пополам, напряжения на конденсаторах уменьшатся в 2 раза, энергия на каждом - в четыре раза, общая энергия в 2 раза.
По закону сохранения энергии половина недостающей энергии уйдет в тепло.
Вроде бы, тоже непротиворечиво.

El-Eng

rl55 писал(а):При соединении через сопротивление по закону сохранения заряда заряд разделится пополам, напряжения на конденсаторах уменьшатся в 2 раза, энергия на каждом - в четыре раза, общая энергия в 2 раза. По закону сохранения энергии половина недостающей энергии уйдет в тепло.

Кому интересно: промоделировал задачку на PSPICE. Емкости была по фараде. Напряжение - 1 киловольт. Результат: напряжение уменьшается в два раза для сопротивления замыкающего проводника вплоть до 100 аттоОм (0.0000000000000001 Ом).

Далее начинаются чудеса, скорее всего вызванные ошибками округления, а для нулевого сопротивления проводника, PSPICE вообще отказывается считать.

Artlav

Звездочёт писал(а):поделить энергию поровну не обещаю, а вот сохранить можно так

Работает в симуляторе, но не работает на практике.
Два по 10000uF, один заряжен на 10В, диод, 47000uH индуктор - напряжение делится примерно поровну.
От чего так?

El-Eng

Artlav писал(а):От чего так?

Из-за потерь, например, на внутреннем сопротивлении индуктивности и конденсаторов. Добавьте его в симулятор (скажем, последовательно с индуктивностью) и увидите результат.

Gudd-Head

Может ещё дроссель низкочастотный и/или входит в насыщение.

O_l_e_g

Вот тут я попытался определить какое напряжение останется на конденсаторе если с него удалить половину заряда. Я поменял пределы интегрирования местами чтобы работа по перемещению заряда была положительны (для удобства) знак просто определяет за счет чего совершается работа (энергия электрического поля конденсатора или внешнее электрическое поле. Понятно что при разряде конденсатора работу совершает электрическое поле самого конденсатора. Так вот что получилось

Спойлер

То есть если "удалить" с конденсатора 0,5 заряда то напряжение на нем станет 0,707 от первоначального, соответственно если поместить на конденсатор 0,5 заряда то напряжение на нем станет 0,707 от максимального (которое стало бы на нем если поместить на кондер весь заряд). В данном случае сохраняется закон сохранения энергии и заряда. Возникает вопрос с емкостью. Но если емкость в данном случае рассматривать не как "геометрическую величину" а как "количество условного топлива в системе", то все становиться на свои места. До начала разряда емкость была максимальна и равна С, отобрали 0,5 заряда и запас условного топлива уменьшился в данном случае до 0,707 от первоначального.
Данный подход позволяет избежать учитывать различные потери энергии при перезарядке конденсаторов. А также показывает что при разрядке конденсатора самого на себя колебяния не возникнут (так как для первого дифференциального уравнения, что я вычислял, нет решений в виде периодических функций), в конце разрядки напряжение будет 0. А вся энергия электрического поля пойдет на перемещение накопленного заряда с одной обкладки на другую и выравнивания потенциалов.

rl55

O_l_e_g писал(а):То есть если "удалить" с конденсатора 0,5 заряда то напряжение на нем станет 0,707 от первоначального

А как же c формулой U=q/C?
Если заряд стал 0,5q, то и напряжение должно стать 0,5U.

Вот вы правильно посчитали, что если уменьшить заряд на 0,5q, то энергия на конденсаторе будет равна 0,25(CU^2)/2.
Но далее, почему вы приравниваете начальную энергию с энергией после удаления 0,5 заряда?

Ну и дальше просто совершаете ошибку в элементарнном вычислении U2

Непонятно только, как человек может вычислять интегралы, допуская такие ошибки...
Если вспомнить школу, то U2=2U1, что есть полная чушь.
А элементарно должно из формулы U=q/C получиться U2=0.5U1.

Также небезинтересно, что второй конденсатор при этом получит энергию 0,75(CU^2)/2
Отсюда на втором конденсаторе должно быть напряжение (sqrt 0,75)U=0,866U.
А это стационарно никак не может быть, т.к. на первом конденсаторе 0,5U.

Так вот, напряжение по 0.707U будет, если энергию поделить между конденсаторами поровну.
Только заряды на них будут не по 0,5q, а по 0,707q, как это ни парадоксально...

А как поделить энергию, было описано чуть ранее.

O_l_e_g

rl55
Ну перепутал индексы так как в ворде сложно формулы набарать вот и приходиться делать копирование с последущей модификацией.
Очевидно же что после разряда на конденсаторе осталось 0,25 от первоначальной энергии
А1=0,25*С*U1*U1/2
какому новому напряжению U2 будет соответствовать это новое значение энергии, все очень просто
A1=C*U2*U2/2
приравняем правые части и получим
C*U2*U2/2=0,25*С*U1*U1/2
после упрощения получаем
U2*U2=0.25*U1*U1
отсюда и получилось U2=0.707*U1
все очевидно если решить диф уравнение. Дело в том что работа затрачиваемая на перемещения заряда в электрическом поле A=E*q но при уменьшении заряда уменьшается и напряжение на обкладках заряда. А это значит для перемещения каждой следующей порции заряда требуется все меньше энергии. Именно поэтому никаких колебаний никогда и не будет возникать. Так как "с покиданием последнего электрона" и результирующее поле станет равным 0. А это значит нет никаких внешних сил чтобы заставить начать перезаряжаться конденсатор. Конденсатор просто разрядится по экспоненте и заряды уравновесяться. Если добавите индуктивность в задачу то решение будет совершенно другим. Упругие свойства элементарных частиц и квантовые эффекты применять не будем классическая электротехника не использует такие понятия но это не значит что электротехника противоречива. Просто существуют границы в которых результат согласуется с опытом - это и есть границы применимости. Так что описать процесс заряда разряда конденсатора электротехника может. А вот использовать ее для описания работы атомного колайдера вероятно уже нельзя.
Еще раз повторюсь. При разрядке конденсатора уменьшается заряд а значит и результирующая сила действующая на оставшиеся заряды. Такое решение надо искать исключительно в виде диф уравнения.
Конечный результат если вы решите уравнение когда конденсатор полностью разрядиться не будет противоречить вашей формуле
U=q/C'
А вот что собой представляет коэф пропорциональности С между зарядом на конденсаторе и напряжением на конденсаторе надо еще разбираться И равен ли он емкости в нашем понимание обозначим ее С'. Сейчас я не могу ответить на этот вопрос. При решении диф уравнения я использовал постоянную обозначив ее как С. Такой подход правомерен так как электрическое поле потенциально, а это значит между работой электрическим полем и зарядом имеется линейная зависимость и правильным выбором единиц измерения можно вообще сделать данный коэф пропорциональности равным 1. В системе СИ этот коэф пропорциональности имеет размерность Фарады.

Microwatt

Vendein_RaZoR писал(а):Имеем такую задачу :
По закону сохранения заряда в каждом из конденсаторов окажется по половине исходного заряда, следовательно напряжение после подключения второго конденсатора станет равным половине исходного: U=Q/2C. Теперь считаем энергию в получившейся системе: 2*C*(U/2)^2/2=CU^2/4 что в два раза меньше исходной энергии.
Куда делась половина запасённой в одном конденсаторе энергии?

шсть страниц обсуждения нелепости.
В условии задачи грубая ошибка. Напряжение на конденсаторах будет не 0.5 исходнлго , а корень из 0.5, т.е. 0.707.
Это вытекает из закона сохранения энергии. Достаточно простой алгебры, без интегралов.
СU1^2=2CU2^2
Полагая С=1, U1=1, решаем относительно U2.
Попытки реального моделирования некорректны, там сопротивление цепи должно участвовать, часть энергии потеряется на нем.
В общем, сама задача из области схоластики, сам процесс разряда идеальной емеости на идеальную емкость физически нереализуем. не существует таких емкостей.

Stalker007

Microwatt писал(а):Это вытекает из закона сохранения энергии.

А про закон сохранения заряда не слыхали?

vem566

Microwatt, можно вернуться к первой странице. В первом ответе я писал

vem566 писал(а):В свое время попалась книжка "Софистика в физике", оттуда?

В пустую столько усилий.