Тригонометрический способ. Ы-ы... Надеюсь, нигде не ошибся.
На координатной плоскости координаты тел 1, 2 будут равны:
1X = COS(t * 2*pi/T1) = COS(t * 2*pi)
1Y = SIN(t * 2*pi/T1) = SIN(t * 2*pi)
2X = COS(t * 2*pi/T2) = COS(t * 2*pi/3)
2Y = SIN(t * 2*pi/T2) = SIN(t * 2*pi/3)
Если одно тело догонит другое, значит их координаты будут равны:
COS(t * 2*pi) = COS(t * 2*pi/3)
SIN(t * 2*pi) = SIN(t * 2*pi/3)
Решим уравнения:
COS(t * 2*pi) + SIN(t * 2*pi) = COS(t * 2*pi/3) + SIN(t * 2*pi/3)
Пусть x = t * 2*pi/3, тогда:
COS(3*x) + SIN(3*x) = COS(x) + SIN(x)
COS(2*x + x) + SIN(2*x + x) = COS(x) + SIN(x)
cos(2*x)*cos(x) - sin(2*x)*sin(x) + sin(2*x)*cos(x) + sin(x)*cos(2*x) = cos(x) + sin(x)
cos(2*x)*cos(x) + sin(2*x)*cos(x) - cos(x) + sin(x)*cos(2*x) - sin(x) - sin(2*x)*sin(x) = 0
cos(x)*(cos(2*x) + sin(2*x) - 1) + sin(x)*(cos(2*x) - sin(2*x) - 1) = 0
cos(x)*(cos^2(x) - sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x) - 1) + sin(x)*(cos^2(x) - sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x) - 1) = 0
cos(x)*(1-cos^2(x) + sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x)) + sin(x)*(1-cos^2(x) + sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x)) = 0
cos(x)*(sin^2(x) + sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x)) + sin(x)*(sin^2(x) + sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x)) = 0
cos(x)*(2sin^2(x) - 2*sin(x)*cos(x)) + sin(x)*(2sin^2(x) + 2*sin(x)*cos(x)) = 0
2*sin(x)*cos(x)*(sin(x) - cos(x)) + 2*sin^2(x)*(sin(x) + cos(x)) = 0
sin(x)*(cos(x)*(sin(x) - cos(x)) + sin(x)*(sin(x) + cos(x))) = 0
I Решение sin(x)=0
x=arcsin(0)+2*pi*n=2*pi*n
x=pi-arcsin(0)+2*pi*n=pi - 2*pi*n
cos(x)*(sin(x) - cos(x)) + sin(x)*(sin(x) + cos(x)) = 0
cos(x)*sin(x) - cos^2(x) + sin^2(x) + cos(x)*sin(x) = 0
2*cos(x)*sin(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 0
sin(2x) - (1 + cos(2x))/2 + (1-cos(2x))/2 = 0
sin(2x) - (1 + cos(2x) +1-cos(2x))/2 = 0
sin(2x) - 1 = 0
sin(2x) = 1
II решение:
2x = arcsin(1) + 2*pi*n = pi/2 + 2*pi*n
x = pi/4 + pi*n
2x = pi - arcsin(1) + 2*pi*n = pi - pi/2 + 2*pi*n = pi/2 + 2*pi*n - то же. Не берём.
Итак. У нас получились следующие корни:
x=2*pi*n
x=pi - 2*pi*n
x = pi/4 + pi*n
Вернём подстановку:
t * 2*pi/3=2*pi*n
t * 2*pi/3=pi - 2*pi*n
t * 2*pi/3 = pi/4 + pi*n
Упростим:
t =3*n
t =3/2 - 3*n = 3*(1/2 - n) = 3*(0.5 - n)
t = 3/8 + 3*n/2 = 3/2 * (1/4 + n) = 1.5 * (0.25 + n)
Получили уравнения времён, при которых два объекта будут на отной точке. n - целое число. Подставим, n = 0.
t = 0 с
t = 3*(0.5) = 1.5 с
t = 1.5 * (0.25) = 0.375 с
Подставим, n = 1.
t =3
t =3*(0.5 - 1) = −1,5
t = 1.5 * (0.25 + 1) = 1,875
Подставим, n = -1.
t =-3
t =3*(0.5 + 1) = 4,5
t = 1.5 * (0.25 - 1) = −1,125
Берём минимальное время их встречи большее 0 (т.к. 0 с это старт), т.е. 0.375 с.
Ответ: Один объект догонит другой через 0.375 секунды.
Но, видимо у меня где-то ошибка.
А потому, что проверку корней не сделал.
Проверка:
COS(t * 2*pi) + SIN(t * 2*pi) = COS(t * 2*pi/3) + SIN(t * 2*pi/3)
Возмём уравнение t =3*n
При чётной n=0 t=0
COS(0) + SIN(0) = COS(0) + SIN(0) -верно
При нечётной n=1 t=3
COS(6*pi) + SIN(6*pi) = COS(2*pi) + SIN(2*pi)
COS(2*pi) + SIN(2*pi) = COS(2*pi) + SIN(2*pi) -верно
Первое уравнение верно.
Возмём уравнение t = 3*(0.5 - n)
При чётной n=0 t=1.5
COS(3*pi) + SIN(3*pi) = COS(pi) + SIN(pi)
COS(pi) + SIN(pi) = COS(pi) + SIN(pi) -верно
При нечётной n=1 t=-1.5
COS(-3*pi) + SIN(-3*pi) = COS(-pi) + SIN(-pi)
COS(pi) - SIN(pi) = COS(pi) - SIN(pi) - верно
Второе уравнение верно.
Возмём уравнение t = 1.5 * (0.25 + n)
При чётной n=0 t=0.375
COS(0.75*pi) + SIN(0.75*pi) = COS(0.25*pi) + SIN(0.25*pi)
COS(3*pi/4) + SIN(3*pi/4) = COS(pi/4) + SIN(pi/4)
1,040266316 = 1,013613405 - не верно!
При нечётной n=1 t=1,875
COS(3,75*pi) + SIN(3,75*pi) = COS(1,25*pi) + SIN(1,25*pi)
1,183106212 = 1,066136093 - не верно!
Третье уравнение не является корнем уравнения.
Итак, остаётся только
t =3*n
t = 3*(0.5 - n)
Подставим, n = 0.
t = 0 с
t = 3*(0.5) = 1.5 с
Подставим, n = 1.
t =3
t =3*(0.5 - 1) = −1,5
Подставим, n = -1.
t =-3
t =3*(0.5 + 1) = 4,5
Берём минимальное время их встречи большее 0 (т.к. 0 с это старт),
т.е. 1.5 с.
Ответ: Один объект догонит другой через 1.5 секунды.
Вывод: не забываем делать проверку.
