Резонанс токов

koeltrad

Только отпифагорить получилось. Мниная часть в квадрате+действительная часть в квадрате и всё под корнем.

formula14.png: (9.34 КБ) 113 скачиваний

В знаменателе мнимой части нет, он остаётся как был.

Реклама

lumped.net

Правильно. Но от такого выражения будет сложно взять производную. Его надо сократить, то есть поделить числитель на знаменатель. Иначе говоря, разнести знаменатель на два одинаковых корня, один из которых оставить в покое, а в оставшейся под корнем дроби поделить числитель на знаменатель. Должно получиться то самое выражение (V=100):

P.S. Кстати, альтернативный способ - это найти, чему равен модуль вектора (A+jB)/(C+jD). Так можно было объединить первые два пункта и сразу добраться до третьего.

Реклама

koeltrad

[uquote="lumped.net",url="/forum/viewtopic.php?p=4058756#p4058756"]P.S. Кстати, альтернативный способ - это найти, чему равен модуль вектора (A+jB)/(C+jD). Так можно было объединить первые два пункта и сразу добраться до третьего.[/uquote]
А я разве сейчас не то же самое делаю? Я ищу модули векторов как раз. Модуль вектора в числителе и модуль вектора в знаменателе. Потом надо делить их друг на друга.
Отпифагорил числитель я как раз для нахождения модуля ведь.

Добавлено after 5 minutes 41 second:
Ааа, в вашей формуле не домножено на сопряжённое. Ага. Можно было сразу из этого выражения (A+jB)/(C+jD) найти модули. Получается я лишний пункт сделал.

koeltrad

Вы извлекаете из числителя полные квадраты и так его упрощаете? У меня на этом этапе что то пошло не так.

formula15.png: (46.32 КБ) 102 скачивания

Добавлено after 11 minutes 42 seconds:
Разнести знаменатель на два корня это как

Добавлено after 2 minutes 1 second:
То что на картинке, я пытался как то по другому решить. Через полные квадраты

Добавлено after 10 minutes 2 seconds:
Это имеете в виду?

formula16.png: (9.04 КБ) 108 скачиваний

И что дальше?

Добавлено after 25 minutes 58 seconds:
1616L^4/404L^2= 4L^2
(-1200L)/(-8L)=150
725/145=5

5-150 + 4L^2 =-145 +4L^2

А куда исчезли? 2664L^2-3264L^3

Реклама

lumped.net

Реклама

koeltrad

Засосала рутина. Сначала пробелы в образовании устранял, затем всякой ерундой занимался)

Теперь это выражение надо приравнять к нулю чтоб найти экстремумы? (Вернее производную этого выражения приравниваем к нулю).
sqrt((4L^2-8L+5))/(sqrt(404L^2-8L+145)) = 0
Где онлайн можно это решить? Вы ведь онлайн производную где то находили?

Добавлено after 7 minutes 30 seconds:
Выдаёт ответ 0 в качестве производной http://reshit-online.ru/diff.html на это выражение
sqrt((4L^2-8L+5))/(sqrt(404L^2-8L+145))

Реклама

lumped.net

Проще всего на WolframAlpha.
Поиск минимума одним махом:

Код: Выделить всё

min sqrt((4L^2-8L+5))/(sqrt(404L^2-8L+145))

Или в два этапа (сначала вычислить производную, потом решить уравнение):

Код: Выделить всё

d/dL sqrt((4L^2-8L+5))/(sqrt(404L^2-8L+145))

Код: Выделить всё

d/dL sqrt((4L^2-8L+5))/(sqrt(404L^2-8L+145)) = 0

koeltrad

По этой формуле d/dL sqrt((4L^2-8L+5))/(sqrt(404L^2-8L+145)) = 0
находится L при максимальном и минимальном токе?
Я ожидал совсем другое, а именно значение времени по оси икс, на котором будет максимальный и минимальный ток.
Ок. Получается индуктивность, при которой ток минимален теперь вставлять в начальную формулу
I=(U+jwCR1U-w^2CLU)/(R1+jwL+R2+jwCR1R2-w^2CLR2

Добавлено after 7 hours 22 minutes 34 seconds:
А как эту формулу вывели? https://img.radiokot.ru/files/138834/2jy3n5xzhm.png

lumped.net

Ну, батенька, это ж месяц назад было, я уже вчерашний день-то с трудом вспоминаю... Так же примерно и решал. Нечеловеческими усилиями (т.е. применив компьютер) нашел действующее значение, затем производную от подкоренного выражения, дальше растащил её на скобки (если они там вообще были). Приравнял нулю и квадратное уравнение уже вручную решал. Как-то так.

koeltrad

Не используя цифры, только буквы формулы у меня получается заклинание из букв с километр, фаталити, особенно в знаменателе.
Действующее значение вроде бы находится после нахождения производной.
Может вспомните как решали? Эта формула даже интересней решиения через модули.

lumped.net

Ну нет, вручную я за это не возьмусь. Пустая трата времени и сил. Тактика тут такая. Символьным решателем находите выражение для действущего значения тока (в настройках режим AC, Phasors):

Спойлер

Код: Выделить всё

# https://lumped.network
V 1 0
R_2 1 2
C 2 0
L 2 3
R_1 3 0

Получается

Любым доступным способом берёте производную d/dL (можно только от подкоренного выражения, т.к. корень - монотонная функция). WolframAlpha тут не поможет, слишком большое выражение для бесплатной версии. Приравниваете числитель производной к нулю. Должно получиться такое уравнение:
ω²L²C + L ( 2ω²C²R₁R₂ – 1 ) – 2CR₁R₂ – CR₁² = 0
Решаете как квадратное с неизвестным L и получаете ответ:

koeltrad

---

diskriminant.png: (57.46 КБ) 83 скачивания

koeltrad

Использовал эту формулу для нахождения другой неизвестной. Неизвестной Ёмкости. Конденсатора. Частота и всё остальное осталось прежним.
Загружаю в эту формулу известные данные
w^2*L^2*C+L*(2*w^2*C^2*R1*R2-1)-2*C*R1*R2-C*R1^2 = 0

1000^2*0.5^2*C+0.5*(2*1000^2*C^2*500*100-1)-2*C*500*100-C*500^2 = 0

Получается два корня -2.3 Микрофарад и 4.3 Микрофарад.
Не подходят эти ёмкости.
Условие звучит так:
Какая ёмкость должна быть чтоб при частоте 1000 рад/сек ток через источник был минимален.

Добавлено after 1 hour 29 minutes 25 seconds:
[uquote="lumped.net",url="/forum/viewtopic.php?p=4068643#p4068643"]берёте производную d/dL (можно только от подкоренного выражения, т.к. корень - монотонная функция).[/uquote]
Как монотонность функции влияет на то, что можно брать производную только от числителя?
sqrt(9)/sqrt(3)=sqrt(3)
А если брать только числитель, то =sqrt(9)

lumped.net

koeltrad писал(а):Использовал эту формулу для нахождения другой неизвестной. Неизвестной Ёмкости. Конденсатора.

Не правильно, так делать нельзя. Это уравнение есть результат вычисления производной по неизвестной L. Для конденсатора будет совсем другая производная и другое уравнение.

koeltrad писал(а):Как монотонность функции влияет на то, что можно брать производную только от числителя?

Производная берётся не от числителя, а как положено по формуле
$Изображение$
но только от подкоренного выражения. Знаменатель отбрасывается на следующем шаге, когда вычисленная производная приравнивается нулю, чтобы получить уравнение.
Нет, ну если хотите, можете по формуле производной сложной функции вместе с корнем посчитать. А мы посмотрим...

koeltrad

Начальное выражение:
I=(U+jw*C*R1*U-w^2*C*L*U)/(R1+jw*L+R2+jw*C*R1*R2-w^2*C*L*R2) https://web2.0calc.com/
Находим модули
(sqrt((U-w^2C*L*U)^2 + (w*C*R1*U) ^2))/sqrt((R1+R2-w^2*C*L*R2)^2+(wL+w*C*R1*R2)^2)
В итоге получается
sqrt(U^2(1-2*w^2*C*L+w^4*C^2*L^2+w^2*C^2*R1^2))/sqrt(R1^2+2*R1*R2+R2^2-2*w^2C*L*R2^2+w^4*C^2*L^2*R2^2+w^2*L^2+w^2*C^2*R1^2*R2^2)
Из этого надо искать производную:
(U^2(1-2*w^2*C*L+w^4*C^2*L^2+w^2*C^2*R1^2))/(R1^2+2*R1*R2+R2^2-2*w^2C*L*R2^2+w^4*C^2*L^2*R2^2+w^2*L^2+w^2*C^2*R1^2*R2^2)

formulatok.jpg: (122.53 КБ) 84 скачивания

И что онлайн нигде нельзя из этого производную найти?

lumped.net

Можно тут. Наверное, стоит добавить такую функцию в решатель.

koeltrad

Пишет что нулю производная равняется.

formulatok2.jpg: (192.25 КБ) 73 скачивания

Делайте гайды на ютюбе про свой решатель)
Про то как им пользоваться.
И на самом вебсайте можно будет ссылки на эти гайды запостить.

lumped.net

Там справа есть вкладка Options, верхний элемент управления - выбор переменной, по которой вести дифференцирование. Попробуйте выбрать C или L для своего выражения :

Код: Выделить всё

(1-2*w^2*C*L+w^4*C^2*L^2+w^2*C^2*R1^2)/(R1^2+2*R1*R2+R2^2-2*w^2C*L*R2^2+w^4*C^2*L^2*R2^2+w^2*L^2+w^2*C^2*R1^2*R2^2)

Получив решение, прокрутите ниже до раздела Simplify/rewrite - т.е. упрощение.

koeltrad писал(а):Делайте гайды на ютюбе

Давно крутится мысль сделать видео про преобразование Хевисайда. Кстати, небезызвестный Б.Бояршинов выкладывает курс лекций по ТОЭ. Я, правда, не смотрел, но всё равно советую

koeltrad

Если числитель равен нулю, то и всё выражение равно нулю, поэтому числитель приравниваем к нулю.
Получилась немного другая производная.
Ах какой хороший сайт https://www.derivative-calculator.net/
2*U^2*w^2*(C*w^2*L^2+(2*C^2*R1*R2*w^2-1)*L-2*C*R1*R2-C*R1^2)=0
2*100^2*1000^2*(0.000001*1000^2*L^2+(2*0.000001^2*500*100*1000^2-1)*L-2*0.000001*500*100-0.000001*500^2)=0
https://math24.biz/equation
Но результат получается тот же самый.

Добавлено after 3 minutes 55 seconds:
Выражение от которого я беру производную у меня немного другое. Вот оно.
Это выражение я вручную считал. Вы вынесли U за знак корня, я оставил U в квадрате под корнем. В этом разница.
(U^2(1-2*w^2*C*L+w^4*C^2*L^2+w^2*C^2*R1^2))/(R1^2+2*R1*R2+R2^2-2*w^2C*L*R2^2+w^4*C^2*L^2*R2^2+w^2*L^2+w^2*C^2*R1^2*R2^2)
И производная получается тоже немного другая. Вот она
2*U^2*w^2*(C*w^2*L^2+(2*C^2*R1*R2*w^2-1)*L-2*C*R1*R2-C*R1^2)=0
Но результат получается правильный.

lumped.net

koeltrad писал(а):Если числитель равен нулю, то и всё выражение равно нулю, поэтому числитель приравниваем к нулю.

По-хорошему, прежде чем отбросить знаменатель, нужно исследовать его ОДЗ, чтобы он случайно не оказался равен нулю. Но проще на это забить и исходить из здравого смысла.

koeltrad писал(а):Вы вынесли U за знак корня, я оставил U в квадрате под корнем.

Если стоит цель найти номинал какого-то элемента (или его импеданс), то амплитуда источника никакой роли не играет. Лучше всего брать U=1, чтобы в решении не было лишних символов.