Проэкспериментировал со своим девайсом. Если вынуть из панели DS1307, то на экране вместо часов будет мусор (а
температуру показывает). Таким образом, из DS1307 чтение происходит, но она не отсчитывает время. Если отбросить
почти невероятные причины (пункт 5) и две разных DS1307, то остается 1) питание, 2) нерабочий кварц и 3)
неправильное подключение DS1307, обрывы, непропаи или замыкания дорожек.
Простите, но тяжело давать советы, не зная, Ваш уровень знаний и что уже проверено

.
Проверяем (если не сделано ранее) тестером, а еще лучше осцилографом

(опять-же неизвестно есть ли он у Вас) на
ножках микросхем со стороны деталей, чтобы исключить плохо припаяные дорожки:
- относительно 4 ноги DS1307: +5В на 8 ноге DS1307, +3В на 3 ноге DS1307;
- при выключеном питании - отсутствие замыканий 1, 2, 5 и 6 ног DS1307 на землю и на +5В;
- отсутствие замыканий между 1 и 2 а также 5 и 6 ногами DS1307;
- соединение 16 ноги U1 с 6 ногой DS1307, а 15 ноги U1 c 5 ногой DS1307 (по оригиналной схеме).
Пока я это писал, товарищ экспериментировал: поочередно отгибал от панельки ноги DS1307. Как результат: если не
подключена любая из 3, 4, 5, 6, 8 ног - на экране вместо 00:00 01/01/00 - мусор. Если включить девайс и не трогать
кнопки, то часы сразу начинаю отсчитывать время (через минуту на экране отобразится 00:01 01/01/00).
Т.о. 99,9% у Вас не генерирует кварц: отсутствует контакт между 1 и 2 ножками и кварцевым резонатором, замыкание
этих ног между собой или на корпус/питание, нерабочий кварц. При наличии осцилографа на 2 ноге DS1307 видна четкая генерация.
Проверяем, пишем ответы на каждый пункт и даже больше

(желательно для диагностики через интернет ). Может помочь качественое фото Вашего девайса со стороны дорожек.