комплексные числа и мнимая единица

[kaetzchen]

вообщем AC теорию читал давно и вроде ниче сложного там не увидел. но как только напоролся на эту херню квадрат которой равен минус единице офигел и бросил дальше читать.
Каким боком эти комплексные числа и мнимая единица относятся к электричеству и какого они вообще нужны?

[КРАМ]

В электротехнике и радиотехнике мнимая единица применяется для представления и анализа цепей переменного тока и самих сигналов.
Для этого сигналы и импедансы представляются в полярных системах координат.
В полярной системе координат ортогональные оси принадлежат действительной и мнимой частям представляемого числа. Алгебраическая форма представления имеет вид a+i*b, где i - мнимая единица, а - проекция вращающегося вектора на действительную (горизонтальную) ось, b - проекция вектора на мнимую (вертикальную) ось.
Либо представление имеет экспоненциальную форму вида R*e^(i*w*t), где R- длина вращающегося с угловой скоростью w вектора, а w*t - это угол вектора относительно горизонтальной действительной оси в правом направлении. Сам вектор вращается против часовой стрелки.
Преобразование из алгебраической в экспоненциальную форму имеет вид: sqrt(a^2+b^2)*e^(i*arctg(-b/a))
Преобразования комплексных величин (импедансов, токов и напряжений) приводят и к умножению их мнимых компонент. Естественно, что произведение двух мнимых единиц дает в результате МИНУС единицу.
Кстати, в отличии от математики, где мнимая единица обычно обозначается прописной i (imaginary - мнимая), в электро и радиотехнике принято ее обозначать прописной j, чтобы не было путаницы с традиционным обозначением токов буквой i.
ЗЫ. Как то не очень верится в то, что Вы когда либо разбирались с электротехникой и радиотехникой.

[kaetzchen]

спс, но вы описали это почти так же как и в книжках.
я к матану отношусь со стремом, само по себе понятие мнимая да еще единица,.., это оголушивает как деление на ноль,физическая сущность или привязка к ней интересует, тобишь например как я мыслю: ввиду того что помимо того что величина электрич. параметра меняется туда-сюда(больше-меньше) в положительной "плоскости", но еще и меняет эту плоскость, то для того чтобы отобразить множество связанных параметров вкупе вводится типа эта виртуальная шняга? эта j служит для темпорального определения
квадранта в котором происходит процесс? а остальные величины реальные физические параметры?
что разверка круговая векторное описание я понял, мнимую не понял..

[КРАМ]

В анализе переменного тока и схем с реактивными компонентами (емкости, индуктивности и элементы с распределенными параметрами) у традиционных законов электротехники появляется ДВУМЕРНОСТЬ.
То есть не только амплитуда синусоидальных сигналов, но и ФАЗА этих сигналов.
Полярная система координат и комплексное представление двумерных чисел дают математический аппарат расчета ПО ТРАДИЦИОННЫМ ЗАКОНАМ, но с использованием комплексных представлений величин и параметров.

[kaetzchen]

значит все это только из-за необходимости привязки к фазе?
поскольку фаза не может быть больше единицы, значит это фазовый коэффициент? если так можно выразится

[КРАМ]

Фаза может быть ЛЮБОЙ. И с любым знаком.
Вы пытаетесь выстроить какие то примитивные аналогии с мнимой единицей, совершенно не понимая теорию, под которую ее ввели в матаппарат.
Изложить даже основы этой теории в одном...двух сообщениях на форуме невозможно.
Да и Вы не будете в это вникать, ибо Вам очевидно лень.
Если не лень, то открывайте учебник по ТОЭ и разбирайтесь с самого начала.

[kaetzchen]

ну лень, да.. но фаза не может быть любой, фаза имеет смысл только в рассмотрении вместе с тем процессом от которого происходит эта фаза, фаза как параметр характеризующий колебания физической величины не может выходить за период одного полного колебания-это я имел ввиду

[КРАМ]

Это бред.
Фаза - это время умноженное на угловую скорость (частоту). Поскольку время бесконечно, то и фаза может быть любой. То, что значения периодической функции повторяются в каждом периоде, никак не ограничивает время. Если уж говорить об анализе, то сам гармонический тип сигнала подразумевает его БЕСКОНЕЧНОСТЬ во времени (отсутствие начала и конца). Иначе это никакой не синус.
ЗЫ. В догон.
Возможно Вам это поможет в понимании.
Двумерный гармонический сигнал - это СУММА (точнее, может быть представлен как сумма) двух сигналов. Косинусоиды - действительной части и синусоиды - мнимой. Выбранное соотношение амплитуд этих компонент дает в результате ОДИН гармонический сигнал с ЛЮБОЙ ФАЗОЙ.

[kaetzchen]

здесь с вами не соглашусь. я имел в виду реальные колебания.
и бесконечности даже матан не рассматривает, а философия.
как только вы выйдите за пределы периода колебания получили бы безсмыслицу фигню, но выйти не получится ибо чего нет-того нет.

[КРАМ]

От Вашего несогласия ничего не меняется. Весь анализ цепей переменного тока основан на идеальном гармоническом сигнале. То есть именно на БЕСКОНЕЧНОМ.
Ваша сентенция на счет выхода за период - бессмысленный набор слов.

[kaetzchen]

спс. Крам, но у меня тоже может быть мнение и оно стремится к реалиям сего мира и бытия и физики. я за электротехнику глаголю. а не за пуристический матан. у практического колебания есть начало и даже переходные процессы есть и конец.

Ваша сентенция на счет выхода за период - бессмысленный набор слов

"...фаза колебательного процесса выражается в долях периода колебания..."

[КРАМ]

Вы опять глаголите чушь.
Именно абстрактный идеальный синус позволяет просто и понятно создать очень близкую к практике модель рассмотрения.
Посчитать цепи переменного тока на иных испытательных сигналах весьма и весьма сложно. А еще сложнее будет интерпретировать этот иной сигнал так, чтобы применить расчет на его базе.
Еще раз предлагаю не вещать всякие наивные глупости, а разобраться с предметом.

[Meteor]

...фаза колебательного процесса выражается в долях периода колебания..."

В этом случае говорится всего лишь об одном периоде колебаний, где зачастую точкой отсчета является точка со значением (0;0). Попробуйте отобразить на одной оси времени несколько колебаний и посчитайте фазу от точки (0;0) на всем протяжении графика.

[B@R5uk]

...физическая сущность или привязка к ней интересует...

Нет никакой физической сущности у комплексных напряжений и токов. Просто работать с комплексной экспонентой удобнее, чем синусами и косинусами, потому что и амплитуда, и начальная фаза сигнала уходят в комплексную амплитуду, про экспоненту (с её зависимостью от времени) можно практически забыть (главное помнить, что при интегрировании и дифференцировании комплексный множитель с частотой вылезает). Инженерам, которые делают расчёты, важна удобность и простота, а не физическая сущность. А когда все расчёты закончены, от всех комплексных выражений просто берут действительную или мнимую часть и получают реальные токи и напряжения в схеме.

П.С. Зря матан не учили. Не было бы таких глупых вопросов. Физика, а за ней и радиотехника, без матана — детские игры.

Фаза - это время умноженное на угловую скорость (частоту).

Фаза — это выражение под косинусом или синусом, не больше не меньше. А так да, производная фазы по времени есть частота (для случая переменных частот).

[КРАМ]

В контексте разговора произведение времени и угловой частоты и есть выражение под синусом.
Не больше и не меньше.
И совершенно очевидно, что этот аргумент синуса может содержать еще и постоянную составляющую. Однако, для отдельно взятого синуса она не имеет физического смысла, поскольку время бесконечно и нет начального отсчета.
Про "физическую сущность".
Ее нет вообще ни у каких описаний реальных физических процессов.
Любое такое описание суть есть модель удобная для рассмотрения.
И в этом смысле квадратурное (комплексное) представление гармонических сигналов и импедансов при анализе схем может иметь вполне " физическую сущность".
Иначе придется зубрить матан (аналитическую геометрию, высшую алгебру далее везде), а потом тупить с его прикладными задачами в электро и не только технике.
Главное, не забывать об ограничениях ЛЮБЫХ абстрактных моделей.

[kaetzchen]

с матаном у меня было все ок, если че. (не все же учить!) например при обьяснении что такое производная и х-кратные производные просто необходимо изложить физическую сущность,

[YS]

Каким боком эти комплексные числа и мнимая единица относятся к электричеству и какого они вообще нужны?

Комплексные числа - всего лишь способ упихать два уравнения в одно. Все уравнения, написанные для комплексных амплитуд, можно переписать в виде систем уравнений без всяких комплексностей, но вид этих систем будет настолько суров, что делать так ни у кого особого желания не возникает.

К слову, следующий идеологический шаг после перехода к комплексным числам - переход в пространства другого аргумента. Например, решение задач на переходные процессы с помощью преобразования Лапласа или синтез рекурсивных фильтров с помощью Z-преобразования. Сами эти преобразования исключительно забористы, но без них описанные задачи были бы еще неподъемнее.

Впрочем, в наши дни чаще используются численные методы, тем более, что многие практически важные задачи чрезвычайно трудоемки для аналитического расчета.

Описанное преобразование комплексных вычислений в некомплексные приходится делать всегда, когда встает задача реализации алгоритмов в прикладном виде, например, в виде подпрограммы на Си. Но обычно преобразуется только конечная формула, ибо, как я уже сказал, делать основные выкладки действительно удобнее в комплексных числах. Да, это реально проще.

Физика, а за ней и радиотехника, без матана — детские игры.

В принципе, я соглашусь. Но отмечу, что матан матану рознь; зачастую лозунги, подобные этой фразе, служат предлогом для неоправданного усложнения материала. Физика тем и отличается от математики, что в ней решающее значение имеет именно понимание процессов. Известная проблема квантовой механики и теории относительности проистекает как раз оттого, что человечество пока не понимает, что же там происходит на самом деле.

[B@R5uk]

Известная проблема квантовой механики и теории относительности проистекает как раз оттого, что человечество пока не понимает, что же там происходит на самом деле.

На счёт всего человечества не знаю, а вот специалисты в области вполне способны вообще без всяких формул, одними рассуждениями, получить качественные результаты. Разве это не есть понимание? Может в теории относительности не всё так гладко, но в квантовой механике всё просто шикарно.

Комплексные числа - всего лишь способ упихать два уравнения в одно.

Это, разумеется, тоже имеет место быть, но главная сила метода комплексных амплитуд заключается в том, что системы интегро-дифференциальных уравнений сводятся к системам линейных алгебраических уравнений. Тот, кто хоть раз имел дело и с одним, и с другим, вряд ли сможет недооценить всю выгоду такого перехода.

[YS]

Может в теории относительности не всё так гладко, но в квантовой механике всё просто шикарно.

Настолько шикарно, что существует куча интерпретаций, и непонятно, какая же действительно соответствует физической реальности.

главная сила метода комплексных амплитуд заключается в том, что системы интегро-дифференциальных уравнений сводятся к системам линейных алгебраических уравнений.

Да, это тоже. Я, собственно, выше писал, что следующий шаг в этом направлении - использование различных преобразований для аналогичных целей.

Тот, кто хоть раз имел дело и с одним, и с другим, вряд ли сможет недооценить всю выгоду такого перехода.

О-о-о-о-ох. Вспоминая универ, я очень хочу сказать что-нибудь в духе "хрен редьки не слаще". Хотя по существу все действительно так, как вы говорите. Тем не менее, при случае я бы десять раз подумал, решать ли уравнение в комплексных амплитудах, или просто решить исходное уравнение старым добрым методом Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта - классная штука. Я практически все рассчеты для магистерского диплома делал именно этим методом. Там был некий хитрый дифур, содержащий стохастическое слагаемое.

[B@R5uk]

Настолько шикарно, что существует куча интерпретаций, и непонятно, какая же действительно соответствует физической реальности.

Сколько бы не было теоретических спекуляций, когда дело доходит до эксперимента точность предсказаний теории на столько велика, что порой на порядки превосходит возможности эксперимента. И что самое главное, в пределах экспериментальной погрешности всё идеально согласуется.

Метод Рунге-Кутта - классная штука.

Тут трудно что-то возразить. Численные методы вообще сила. Но аналитические выражения, когда их всё ещё можно выписать на одной странице всё же предпочтительней, какими забористыми они не были.

...я очень хочу сказать что-нибудь в духе "хрен редьки не слаще"...

Ну, если решать СЛАУ не в ручную, а забить матрицу в тот же матлаб и взять обратную, то выгода неоспорима.