n = 50 см²/В / S
где S — площадь поперечного сечения набора трансформаторных пластин (то бишь произведение среднего лепестка Ш-пластины на толщину набора).
Откуда эти волшебные 50 см²/В берутся?
В универе в курсе общей физики изучаются вопросы магнитостатики и электродинамики, поэтому я понимаю, что это число берётся из того соображения, что железо трансформатора не должно входить в насыщение. В противном случае трансформатору грозят неконтролируемо растущие токи и выгорание обмоток в следствие перегрева. Однако, от общих соображений до конкретных формул путь не близкий.
Вот мои попытки вывести эту формулу. Рассмотрим простую модель с только одной первичной обмоткой:
Здесь:
I — ток обмотки
N — число витков обмотки
p — средний периметр магнитопровода
S — площадь сечения магнитопровода
d — ширина эффективного магнитного зазора
B — магнитная индукция в магнитопроводе и в зазоре
H — магнитное поле в магнитопроводе
H' — магнитное поле в зазоре
Так же на картинке не указана величина μ — магнитная проницаемость магнитопровода
Эффективный зазор отражает неидеальность сборки трансформатора: неплотное прилегание Ш- и I-пластин друг к другу в следствие грязи, остатков лака и прочего, а так же наличие вмятин на прилегающих торцах пластин, которые неизбежно появляются при сборке-разборке пакета пластин для перемотки трансформатора.
Эти величины связаны такими формулами:
В первой строчке — материальные уравнения для магнитопровода и зазора, а так же граничное условие. Во второй — циркуляция магнитного поля. В третьей — связь энергии магнитного поля с электрическими величинами (индуктивность L, ток I) и с объёмными величинами (размеры, плотности w и w' магнитной энергии в магнитопроводе и зазоре). Ну и в четвёртой строчке — выражения для плотностей энергии магнитного поля. Решая эти уравнения получаем две формулы:
Видно, что величина индуктивности обмотки в значительной степени определяется размерами зазора в силу большой магнитной проницаемости железа. Если периметр p порядка 200 мм, а проницаемость μ порядка 2000, то величина p/μ будет порядка 0,1 мм, что сравнимо с возможной величиной d эффективного зазора. Это особенно актуально для малогабаритных трансформаторов с малым периметром p. Но на конечную формулу это, как ни странно, ни капельки не влияет. И вот почему.
Связь между напряжением на обмотке и током в ней выражается дифференциальной формулой:
U = L dI/dt
Если I = Iaмп sin(ω t), то для напряжения получается выражение:
U = L ω Iaмп cos(ω t)
Здесь ω = 2π f — круговая частота, а f — обычная частота в герцах. Получается для амплитуд напряжения и тока:
Uамп = L ω Iaмп
Так же надо учесть, что амплитуда синусоидального напряжения в корень из двух раз больше действующего напряжения:
Uамп = Uдейств √2
Объединяя все эти формулы, получаем следующее:
Если пересчитать волшебное число 50 см²/В в индукцию насыщения для частоты 50 Гц, то получится кругленькие 0,9 Тл. Не слишком ли это большой запас? Порывшись в интернетах, можно обнаружить, что индукция насыщения большинства электротехнических сталей попадает в диапазон 1,8...2,0 Тс. Кроме того, в недавно разобранном мной трансформаторе на один вольт приходится 11,4 витков. Учитывая, что размеры сердечника 22 мм на 14 мм, получается, что разработчики этого трансформатора в качестве волшебного коэффициента взяли величину 35 см²/В. Это, конечно, уже ближе, но до 25 см²/В, которые получаются по моей формуле для 1,8 Тл и 50 Гц не дотягивает целых 40%.
Собственно мой вопрос в том, является ли это таким запасом прочности, или же я чего-то не учёл в вышеприведённых расчётах?
