Резонанс токов

[B@R5uk]

Перечитал внимательно начало обсуждения. Вам, koeltrad, сделали очень правильное замечание на счёт неудачно выбранных сопротивлений. Одно из них шунтирует конденсатор, другое — блокирует индуктивность. Да, на приведённом вами графике есть провал, но это отнюдь не резонанс. Во всяком случае, не всякий провал на АЧХ является добропорядочным резонансом.

В теории колебательных систем с затуханием есть такое понятие, как добротность. Чем она выше, тем медленнее в системе происходит затухание. Тем больше амплитуда вынужденных колебаний при приложении возбуждающей силы на резонансной частоте. Наличие шунтирующих и блокирующих резисторов уменьшает добротность контура. Однако добротность нельзя уменьшать бесконечно: при некотором пороге происходит качественный скачок, свободное движение системы из затухающего периодического переходит в апериодическое.

Наглядной демонстрацией такого движения будет грузит на пружинке, погружённый в очень густую жидкость. Если в воздухе (или даже в воде, при достаточной массе груза и жёсткости пружинки) колебания такой системы будут продолжаться достаточно долго, то в густой жидкости грузит, будучи отклонённым из положения равновесия, просто очень медленно вернётся в исходное положение без какого-либо намёка на колебательный процесс.

В вашем случае "контур" как раз представляет такую апериодическую систему.

Добавлено after 22 minutes 24 seconds:

У колебательного контура есть такое понятие, как характеристическое сопротивление (если я термин не запамятовал), оно рассчитывается как

r = √(L / C)

Добротность контура можно прикинуть как частное этого сопротивления и активного сопротивления контура. Какое из них будет в числителе, а какое — в знаменателе зависит от того, является ли колебательный контур последовательным или параллельным. В вашем случае контур смешанный. Резистор R2 через источник напряжения шунтирует контур параллельно, резистор R1 — блокирует последовательно. В этом случае добротность просто так не прикинуть, надо честно выписывать все формулы. Однако можно прикинуть какими должны быть эти сопротивления, чтобы добротность была в районе 20. Грубо говоря нужно чтобы R2 = 40 r и R1 = r / 40.

r = √(0.5 Гн / 10^-6 Ф) ≈ 707 Ω
R2 ≈ 28 кΩ
R1 ≈ 18 Ω

Частота резонанса в районе

f = 1 / (2 п √(L C) ) ≈ 225 Гц

Установите в Микрокапе эти величины и задайте источник напряжения как прямоугольный сигнал частотой 10,72 Гц. 21-я гармоника, хоть и слабая, будет очень хорошо возбуждать контур. В режиме анализа переходных процессов это будет прекрасно видно на напряжениях и токах в схеме. Если всё сделаете правильно, то картинка будет очень красивой. Я гарантирую это, так как наблюдал похожую в живом контуре на настоящем осциллографе (на другой, более разумной частоте, правда).

[КРАМ]

B@R5uk, Вас ли я читаю?
Причем тут апериодичность?
Во первых, апериодичность не наступает скачком. Так же как не изменяется скачком добротность. Под апериодической (вырожденной) подразумевается добротность 1 и менее.
Во вторых, расстройка амплитудного относительно фазового резонанса наступает В ЛЮБОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ КОНТУРЕ, если потери емкости и индуктивности разные. Добротность тут вообще не имеет значения. Вопрос темы был именно о расстройке амплитудного экстремума, относительно чисто активного импеданса контура. Можете изменить последовательное с источником ЭДС сопротивление до любых наперед заданных значений (даже до идеального генератора тока), но ненулевая расстройка о которой речь сохранится.

[lumped.net]

Кстати, да. Для указанных номиналов знаменатели всех передаточных функций (определитель системы?) имеют вид:
p² + 11000 p + 1.2e7
Корни действительные и отрицательные: p₁ = - 9772, p₂ = - 1228.
Тогда процесс должен быть апериодическим. Добротность, если верить формулам из википедии, равна 0.064.

[КРАМ]

[uquote="lumped.net",url="/forum/viewtopic.php?p=4044008#p4044008"]Тогда процесс должен быть апериодическим.[/uquote]
Вы как то все зациклились на апериодичности. Вопрос был не о ней. Пусть это будет не контур, а фильтр. Это что то меняет?

[mickbell]

Так с неё всё началось, клиент возжелал ударное возбуждение контура.

[КРАМ]

[uquote="mickbell",url="/forum/viewtopic.php?p=4044043#p4044043"]клиент возжелал[/uquote]

Вы дверью не ошиблись?
Это тема не про ударное возбуждение?

[lumped.net]

Обломал зубы об производную. Не жуётся.
Принимаю это утверждение на веру:

расстройка амплитудного относительно фазового резонанса наступает В ЛЮБОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ КОНТУРЕ, если потери емкости и индуктивности разные

[КРАМ]

[uquote="lumped.net",url="/forum/viewtopic.php?p=4044061#p4044061"]на веру:[/uquote]
Причем тут вера? Вы умеете пользоваться векторной диаграммой? Полагаю, что да.
Вот и нарисуйте вектор тока катушки и вектор тока конденсатора. Сложите их. Получите доказательство для своей веры.
По моему, это очень просто и совсем не требует операторного исчисления...
А еще можно в конец облениться и тупо симулировать искомое в каком нибудь кошерном LTspice...

[lumped.net]

Нет, лениться и симулировать никак нельзя. Это дорога в один конец. Тем более в теоретическом разделе.
Буду думать, в общем. В крайнем случае вставлю челюсть и продолжу грызть производную

[mickbell]

[uquote="КРАМ",url="/forum/viewtopic.php?p=4044053#p4044053"]Вы дверью не ошиблись?
Это тема не про ударное возбуждение? [/uquote]ТЬФУБЛЯ. Ашыпся, конечно. Изьвиняюсь.

[B@R5uk]

[uquote="КРАМ",url="/forum/viewtopic.php?p=4043773#p4043773"]B@R5uk, Вас ли я читаю? [/uquote]
А я что-то неправильно изложил? Если да, то, пожалуйста, укажите!

Я понимаю, что моё объяснение немного далеко от первоначально заданного топикстартером вопроса, но дальше по теме всплывала у него непонятка, и именно её я адресовал в своём посте. Но далеко или близко, автору темы не помешает разобраться и в этом вопросе. Тем более, что обсуждается именно колебательный контур, а не полосовой фильтр.

Добавлено after 4 minutes 57 seconds:
[uquote="КРАМ",url="/forum/viewtopic.php?p=4043773#p4043773"]Во первых, апериодичность не наступает скачком.[/uquote]
Ну, это вопрос о том, что называть скачком. При одной добротности решение является суммой двух комплексных экспонент (затухающий синус с фазой), а при чуть меньшей добротности решение диффура уже становится действительными экспонентами (апериодический процесс). Качественный переход на лицо. В электрической схеме ничего сверхъестественного не происходит, конечно. Это же не фазовый переход из твёрдого в жидкое или из жидкого в газообразное.

[КРАМ]

[uquote="B@R5uk",url="/forum/viewtopic.php?p=4044125#p4044125"]Я понимаю, что моё объяснение немного далеко от первоначально заданного топикстартером вопроса[/uquote]
Я неверно понял Ваш посыл. Почему то решил, что Вы свели к добротности вопрос с расстройкой.
Однако из контекста автора топика следовало, что он намеревался ФАЗОВЫМ способом измерять частоту амплитудного резонанса. При этом контур какой есть, такой есть. То есть повышать его добротность некомильфо.

[lumped.net]

Получилось доказать это утверждение:

расстройка амплитудного относительно фазового резонанса наступает В ЛЮБОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ КОНТУРЕ, если потери емкости и индуктивности разные

Схема:

Нетлист:

Спойлер

Код: Выделить всё

# https://lumped.network
V 1 0
R_L 1 2
L 2 0
R_C 1 3
C 3 0

Действительная и мнимая части тока через источник V:

При (фазовом) резонансе контур не имеет реактивной проводимости, следовательно, ток через источник совпадает по фазе с напряжением, поэтому числитель мнимой части тока будет равен нулю:

Выносим угловую частоту ω за скобки:

По ходу дела замечаем, что при

числитель обращается в ноль на любой частоте. Это безразличный резонанс (известная цепь Цобеля). В остальных случаях частоту (фазового) резонанса можно получить из выражения

Корень пока не извлекаем.

Теперь переходим к действующему значению тока:

Чтобы найти частоту “амплитудного резонанса”, нужно найти экстремумы этого выражения. Пользуемся тем, что корень – это монотонная функция. Нечеловеческими усилиями (т.е. с помощью ЭВМ) находим производную подкоренного выражения:

Если исходный посыл верен, то на частоте (фазового) резонанса числитель этого выражения обращается в ноль. Подставляем сюда найденный выше квадрат угловой частоты и разносим числитель на множители (снова запрягаем ЭВМ):

Видим, что экстремум есть в двух случаях:
1) L=RL·RC·C. Это необходимое, но недостаточное условие безразличного резонанса. Если подставить такую индуктивность в условие (фазового) резонанса, то угловая частота получится мнимой, т.е. выраженного резонанса нет. При этом в операторной записи тока остается только один полюс (τ=C·RC) и один нуль (τ=C·RL).
2) RL=RC. Ч.т.д.

[koeltrad]

Мнимая часть пропадает ещё на этапе складывания параллельных сопротивлений. Это на мысли наводит То что на колебаниях на этой частоте лишней энергии в этом контуре не остаётся, ни от конденсатора, ни от катушки.
Извиняюсь, переписывать не хочется каракули.

calc2.png

(163.47 КБ) 160 скачиваний

B@R5uk, Я понимаю что если увеличить R2, то картинка лучше будет. Я вообще в принципе пытаюсь разобраться с параллельным резонансом.

[lumped.net]

Пассаж про "лишнюю" энергию я не понял. Но могу проверить выкладки:

Спойлер

Код: Выделить всё

# https://lumped.network
V 1 0
R2 1 2 100
C2 2 0 1u
L1 2 3 500m
R1 3 0 500
T C2
T L1
TR1L 2 0 R1
TR1LC 2 0 R2
TR2R1LC 1 0 R2
omega=2*pi*159

[koeltrad]

Пфф, хотя нет. Токи были бы равны тогда на конденсаторе и катушке.

Добавлено after 1 hour 34 minutes 47 seconds:
Только сейчас заметил. При 159 Герц.
Xl=499 Ом
Xc= 1000 Ом
Вы ведь говорили что обязательным условием резонанса является равенство Xl=Xc

Добавлено after 5 hours 22 minutes 25 seconds:
Может такое условие действует только для последовательного контура?

[lumped.net]

И снова на наших волнах К.А.Круг со своим хитом "Основы электротехники":
"Резонансом называется такой режим пассивной цепи, содержащей катушки индуктивности и конденсаторы, при котором ее входное реактивное сопротивление или ее входная реактивная проводимость равны нулю."

Для параллельного контура (рассматриваемый тут случай) на угловой частоте w=1000 [рад/c]:
Проводимость ветви с конденсатором: Y = 0.001j [См]
Проводимость ветви с катушкой: Y = 0.001 - 0.001j [См]

Суммированием в столбик убеждаемся в наличии отсутствия реактивности.

[koeltrad]

А почему я зациклился на том что реактивные сопротивления должны быть равны хмм.
Так более понятно конечно для резонанса токов.

Условия резонанса напряжения Xl=Xc
----------------
Условия резонанса токов:
В интернете пишут Bl=Bc это условия для резонанса токов. Разве не Bl+Bc=0 ???

Это для интересующихся:
Единицей измерения активной G и реактивных BL, BC проводимостей
является сименс сокращенно – См

Добавлено after 39 minutes 4 seconds:
Это если кто не понял откуда 0.001-j0.001 появилось

tok.png

(8.02 КБ) 96 скачиваний

Добавлено after 3 hours 10 minutes 19 seconds:
Пытался составить уравнение для нахождения неизвестной реактивное сопротивление катушки, не получается.
Что после знака равно записать? 1/500 не подойдёт, потому что остаться в итоге должно 0.001 и мы пока этого не знаем.

tok2.png

(7.57 КБ) 95 скачиваний

Добавлено after 2 hours 41 minute 7 seconds:
Может конечно бред получился, но это надо попробовать решить.

tok3.png

(15.71 КБ) 105 скачиваний

Дифференцировать наверное надо.

[lumped.net]

[uquote="koeltrad",url="/forum/viewtopic.php?p=4049578#p4049578"]Может конечно бред получился, но это надо попробовать решить.[/uquote]Не может, а совершенно точно, но пробовать надо.
[uquote="koeltrad",url="/forum/viewtopic.php?p=4049578#p4049578"]Дифференцировать наверное надо.[/uquote]Попробуйте проинтегрировать. По контуру.

Короче, это делается так. Пускай известно, что резонанс находится на угловой частоте ω=1000 [рад/с]. Хотим найти величину индуктивности. Схема прежняя (C=1e-6 Ф, R=500 Ом).

Записываем сумму проводимостей ветвей в операторном виде. Почему в операторном? Потому что записывая проводимости с мнимыми единицами очень легко запутаться и потерять минус.

В правой части находится неизвестная проводимость всего контура (1/r). Итого одно уравнение с двумя неизвестными, но про общую проводимость мы знаем, что она должна быть активной.

Приводим выражение к общему знаменателю:
p² r C L + p r R C + r = R + p L

Чтобы в этом выражении не было реактивностей, нечетные степени оператора p должны взаимно уничтожиться, то есть: L = r R C

Отсюда находим неизвестное r = L / (R C). [Самопроверка - отношение L/C измеряется в квадратных омах]

Подставляем найденное r назад в уравнение и делаем замену p = jω. Снова приводим к общему знаменателю и получаем квадратное уравнение:
ω² L² C - L + R² C = 0

После подстановки номиналов элементов:
L² – L + ¼ = 0

Это квадрат разности, то есть нахаляву получаем, что L = ½ = 500 мГн.

[koeltrad]

Не понял про нечетные степени оператора.
Можно это обычным способом сделать?
На каком этапе можно там что уничтожить чтоб только реальная часть осталась?

tok2.png

(9.84 КБ) 102 скачивания