Электрическая ёмкость уединённого проводника (пластины).

[Teijo Kano]

[uquote="vlasovzloy",url="/forum/viewtopic.php?p=4246314#p4246314"]Если пластину в один атом толшиной, то модно посчитать атомы и умножить, они же круглые)[/uquote]
Ответ зачтен!

[Динозавр]

Teijo Kano, Шар сплющить , площадь поверхности уменьшится, ёмкость пропорционально.

[ddr4]

У заряженного шара потенциал одинаков в любой точке поверхности, тоже самое у пластин конденсатора. А вот у поверхности уединённой пластины, потенциал не одинаков.
Причём если это реальная металлическая пластина, то и распределение заряда будет неоднородным, так как электроны будут пытаться разбегаться и скопятся у краёв.
То есть это нетривиальная задача по нахождению ёмкости уединённой металлической пластины.
Можно конечно проводить теоретические изыскания по этому поводу, например найти среднее значение потенциала на площади.
Но на практике, наверное, проще измерить ёмкость пластины.

[B@R5uk]

Можно скачать FEMM и численно посчитать ёмкость диска заданного диаметра и толщины в полярных координатах. Там же можно ему фаску нарезать любой желаемой формы. Тип задачи электростатика, материалом будет проводник, которому надо будет задать либо суммарный заряд, либо потенциал. В каждом случае программа рассчитает дополнительную величину, а имея обе можно посчитать ёмкость.

Добавлено after 1 hour 16 minutes 40 seconds:
Например, диск диаметром 200 мм и толщиной 2 мм будет иметь ёмкость где-то 7,2...7,3 пФ (Ёмкость сферы того же диаметра 11,1265 пФ).

Аналитический расчёт будет весьма непрост. Что мне видится, так это следующий план: задать плотности зарядов на поверхности проводника в виде неизвестных функций, посчитать через эти функции потенциал и потребовать, чтобы внутри проводника этот потенциал был константой (градиент равен нулю). Это приведёт к интегральному уравнению на неизвестные функции плотности зарядов. Возможно, существует более хитрый подход, дающий решение меньшей кровью.

[Martian]

площадь изменилась примерно в 2 раза (спасибо B@R5uk за поправку), объём раз в 60, а ёмкость в 1.5... отсюда вывод, что для увеличения ёмкости выгодней увеличивать количество пластин, чем площадь одной, или раздувать её в шар
хотя не, площадь одной - это отсюда вовсе не следует, ошибся...

[B@R5uk]

Это не удивительно, потенциал очень похож на сферический.



Только диск имеет две стороны, так что площадь изменилась всего в 2 раза (с 4пR^2 до 2пR(R+d)).

[ddr4]

Так как у уединённой пластины распределение заряда будет неоднородным (электроны будут пытаться разбегаться и скопятся у краёв). Таким образом, придётся руками задать распределение зарядов на пластине. Либо решать задачу по нахождению этого распределения. После чего, к примеру суммировать ёмкость по каждому элементу поверхности. И так построить модель вычисления ёмкости.
Однако вы не знаете, правильно ли вы вычислили распределение зарядов и наши ёмкость. И вам придётся измерять ёмкость пластины, после чего подгонять модель под этот результат.

[B@R5uk]

Вот ещё интересный объект: стержень длиной 200 мм и диаметром 20 мм:



Его ёмкость 4,25 пФ. Если диаметр уменьшить в 2 раза до 10 мм, то ёмкость уменьшится до 3,4 пФ, то есть всего на 20%.

Добавлено after 19 minutes 59 seconds:
Вот график плотности заряда на боковой поверхности стержня (с точностью до множителя ε₀ ):

Спойлер

Видна неровность, связанная с конечной точностью метода конечных элементов, который использует FEMM для решения электростатической задачи в частных производных с граничными условиями.


Добавлено after 1 hour 8 minutes 19 seconds:
Хотя, если выкрутить густоту разбиения у поверхности проводника на максимум, то можно получить весьма гладенький график:

Спойлер

Спойлер

Значение ёмкости при этом изменилось в четвёртом знаке всего.

[Teijo Kano]

Спасибо!
Очень подробно и интересно.
Не думал, что на самом деле, какая-то пластина, а вычисление её ёмкости не так проста.
Ну, да, получается, у пластины, где 4 угла под 90 градусов, плотность зарядов будет разной.

Интересно, а можно ли это подтвердить эксперементально.
Наверное, обычным ESR- метром, где есть возможность измерить ёмкость, ничего не выйдет, так как может изменить конденсатор с двумя пластинками и диэлектрика между ними.
Наверное, надо делать высоковольтный генератор, весы Кулона, зная подаваемое напряжение на пластину и силу отталкивания одноимённо заряженными пластинами, можно узнать заряд.
Зная заряд и напряжения, можно вывести ёмкость пластины.
А далее даже вывести формулу данной фигуры.
Но у меня такое чувство, что и здесь есть подвох.

[Martian]

B@R5uk, спасибо за информацию о программe (FEMM)! Она ещё и с исходниками...

[Teijo Kano]

[uquote="B@R5uk",url="/forum/viewtopic.php?p=4246714#p4246714"]Вот ещё интересный объект: стержень длиной 200 мм и диаметром 20 мм:



Его ёмкость 4,25 пФ. Если диаметр уменьшить в 2 раза до 10 мм, то ёмкость уменьшится до 3,4 пФ, то есть всего на 20%.[/uquote]

Интересно, что площадь падает в два раза, а ёмкость всего в 20%

[ddr4]

[uquote="Teijo Kano",url="/forum/viewtopic.php?p=4246792#p4246792"]Интересно, что площадь падает в два раза, а ёмкость всего в 20%[/uquote]Это происходит из-за того, что заряды распределены по площади неравномерно.

[B@R5uk]

Если на концах стержня снять сферическую фаску, то максимальная поверхностная плотность зарядов уменьшится в 2 раза (и в целом заряды будут более равномерно распределены в области сферических концов), а ёмкость при этом уменьшится меньше, чем на 3%. Так что дело тут не только и даже не сколько в том, как распределены заряды. Скорее тут вопрос именно в характерных размерах системы. Можно заменить систему описанной сферой, прикинуть ёмкость и быть уверенным, что ошибка не превысила одного порядка.

[Martian]

таким образом можно ведь промоделировать работу терменвокса? то есть, оценить предварительно влияние руки на поле вокруг стержня?

[B@R5uk]

Может и можно, но не с помощью FEMM, она работает только с 2D задачами. То, что аксиальная задача покрывает всё 3D — это счастливая случайность. Симметрии встречаются только в модельных случаях.

Добавлено after 2 minutes 34 seconds:
[uquote="Martian",url="/forum/viewtopic.php?p=4246791#p4246791"]B@R5uk, спасибо за информацию о программe (FEMM)! Она ещё и с исходниками...[/uquote]Это всегда пожалуйста. Хорошая прога в своей области. И главное, документация есть. Даже если напрочь забыл что к чему, не трудно за часик разобраться. Вот архив с файлами задачи, если интересно:

[Teijo Kano]

Благодарю за программу!
Очень интересно.
Попробую тоже её попользоваться и нарисую в нём мой конденсатор
А программа может выводить формулы той или иной функции после решения какой-то задачи? Чтобы посмотреть как будет выглядеть формула, её переменные.

Добавлено after 1 minute 2 seconds:
Тогда у меня следующий вопрос.
Если я возьму уединённый проводник (пластину) заряжу его, допустим, отрицательным зарядом в 10 кВ от высоковольтного трансформатора собранный на срочника ТВС и умножителе напряжения, узнаю силу отталкивания на весах Кулона, будет ли потенциал напряжения прямопропорционально зависить от заряда и ёмкости пластины?
Это я к примеру.
Или заряды распределяться не равномерно, что-то не зарядиться, улетучиться, и когда я буду высчитывать ёмкость пластины, то посчитаю её не правильно.
Может быть такой вариант событий?

[B@R5uk]

Весы Кулона подразумевают взаимодействие двух заряженных тел. Да, силу взаимодействия можно связать с ёмкостью через энергию. Сила — это производная энергии системы по перемещению, а момент силы — по углу:

F = dE / dx
M = dE / dβ

Если заряды фиксированы (а так же равны и противоположены по знаку как в конденсаторе), то энергия системы будет равна:

E = Q^2 / (2 C)

Откуда получаем для силы и момента силы формулы:

F = -1/2 (Q / C)^2 dC/dx
M = -1/2 (Q / C)^2 dC/dβ

Если же поддерживается постоянным разность потенциалов взаимодействующих тел (через токопроводящие нити подвеса, например), то энергия будет:

E = C U^2 / 2

И формулы чутка упрощаются:

F = 1/2 U^2 dC/dx
M = 1/2 U^2 dC/dβ

Однако, это будет именно что ёмкость системы двух взаимодействующих тел, другими словами, взаимная ёмкость двух тел. К их собственным емкостям она не будет иметь никакого отношения.

Если же вы всё-таки хотите экспериментально изменить именно собственную ёмкость тела, то можно подумать над следующим подходом. Необходимо подвесить исследуемое тело в воздухе вдали от всех токопроводящих и электростатически активных предметов (включая землю и стены зданий), подключить тело тонким проводом к генератору переменного синусоидального напряжения, подать напряжение и измерить импеданс (комплексный) получившейся системы. Если собственная ёмкость тела и частота достаточно велики, то емкостная реактивная компонента импеданса будет весьма заметна.

К сожалению, у этого подхода куча проблем, первоочередная из которых — это собственная ёмкость, а также паразитная индуктивность и сопротивление провода, которым осуществляется подключение. Надо будет их измерять и вносить соответствующие поправки. Так же, на высоких частотах может быть заметен эффект излучения, который добавит активную компоненту в импеданс в добавок к уже имеющейся, связанной с сопротивлением провода. Фактически, придётся промерять АЧХ системы без и с изучаемым телом и смотреть, где на ней собственная ёмкость внесла изменения. Гиблое дело, короче. Задача решаема, но она очень сложна.

[Teijo Kano]

Спасибо!
Очень подробно ответили.
Всё стало намного понятней.
Ясно, почему, наверное, было проще замерить ёмкость сферы, чем какое-то тело иной фигуры.
Вот это да.

[B@R5uk]

Вообще, я тут так подумал и понял, что я покривил душой, когда сказал, что взаимная ёмкость не имеет ничего общего с собственными. Это не совсем так. Если два тела удалены друг от дуга достаточно сильно, то взаимная ёмкость системы ведёт себя как составной конденсатор, в котором последовательно включены два конденсатора с ёмкостями, равными собственным емкостям тел (на всякий случай напомню, что для емкостей при последовательном включении Cобщ = C1 || C2 = C1 C2 / [C1 + C2] ). Даже в предложенном мной способе измерения собственной ёмкости неявно присутствует вторая удалённая обкладка — Земля. Однако, её собственная ёмкость на столько велика (порядка 1 Ф), что последовательное включение такого конденсатора с любым конденсатором с разумной практической ёмкостью не изменяет эту самую вторую ёмкость.